Citation

It is clearly impossible to arrange a scale of hardness in studies such as is used in mineralogical tests. But if the formation of such scale were attempted, mathematics would probably head most of the lists. Once label a subject very hard, and let that label be flaunted before the young pupil’s sight, and they are handicapped from the start. They magnify every difficulty, are discouraged too easily, accept failures as all but inevitable. This disadvantage works in many ways. Children are pitied for having to work hard exemples, they are made to tremble at the very thought of algebra or geometry. If they express any pleasure in the subject they are called grinds or sharks, or are tol “Just wait till you get to radicals.” Students who have just finished a course in algebra and geometry delight in terrifying those in the class below them, exaggerating its difficulties, discouraging them from reasonable efforts to succeed by instilling a beleif in the futility of such attempts, magnifying the slaughter wrought by examinations, or perhaps declaring that the only way they themselves got through was by committing all the proofs by memory, a tale which can rarely be true, but which is often swallowed with avidity. If it were possible to eliminate from the young minds, that cling so tenasciously to some forms of tradition, this conventional view of mathematics, I beleive that we should find pleasure in learning and in teaching mathematics wonderfully increased, and failures in the subjet correspondingly diminished. Is there any way in which we can acheive this ? It is worth much thought and effort.

Helen A. Merrill, Why Students Fail in MathematicsMathematics Teacher 11

 

Ce texte est tiré du Mathematics Teacher de décembre… 1918. Hummmm !

Les traces d’un vélo

“A bicycle, certainly, but not THE bicycle,” said he. “I am familiar with forty-two different impressions left by tires. This, as you perceive, is a Dunlop, with a patch upon the outer cover. Heidegger’s tires were Palmer’s, leaving longitudinal stripes. Aveling, the mathematical master, was sure upon the point. Therefore, it is not Heidegger’s track.”

“The boy’s, then?”

“Possibly, if we could prove a bicycle to have been in his possession. But this we have utterly failed to do. This track, as you perceive, was made by a rider who was going from the direction of the school.”

“Or towards it?”

“No, no, my dear Watson. The more deeply sunk impression is, of course, the hind wheel, upon which the weight rests. You perceive several places where it has passed across and obliterated the more shallow mark of the front one. It was undoubtedly heading away from the school. It may or may not be connected with our inquiry, but we will follow it backwards before we go any farther.”

Arthur Conan Doyle (1903),  The Adventure Of The Priory School

Voici les traces laissées par un vélo, des traces qu’on pourrait observer, par exemple, dans un sol boueux. J’ai attribué deux couleurs différentes aux traces, celle de la roue avant et celle de la roue arrière, afin qu’on puisse bien les distinguer sur l’image. Peut-on découvrir dans quel sens le vélo s’est déplacé ? De gauche à droite ou de droite à gauche ?

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C’est un problème fort intéressant, résolu par John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, and Bill Thurston en 1991 dans un cours intitulé Geometry and the Imagination donné à Princeton et au Geometry Center de l’Université du Minnesota. La solution apparaît aussi dans le livre Which Way Did The Bicycle Go ? de Joseph D. E. Konhauser, Daniel J. Velleman et Stan Wagon (MAA, 1996). Le problème est inspiré du passage cité ci-dessus d’une nouvelle d’Arthur Conan Doyle dans laquelle son célèbre détective Sherlock Holmes se trouve pour une rare fois dans l’erreur.

Notre expérience à vélo peut nous mener à découvrir, de manière intuitive, la trace qui représente celle de la roue arrière et celle de la roue avant. On s’imagine faire des “s” en vélo à basse vitesse : la roue arrière parcourt une moins grande distance que la roue avant. Sur notre dessin, cela veut donc dire que la trace noire est celle de la roue arrière et la trace bleue celle de la roue avant. Mais cela ne nous indique pas dans quel sens le vélo s’est déplacé.

Le truc comporte deux aspects. D’abord, il faut observer que la distance entre les points de contact au sol de la roue avant et de la roue arrière est toujours constante (ou presque). Ensuite, on peut faire pivoter la roue avant avec le guidon (elle forme donc un angle avec le cadre) mais la roue arrière, elle, est fixe : elle garde toujours le même angle par rapport au cadre, et cet angle est nul. Ainsi, en examinant la trajectoire d’un vélo, la roue arrière est toujours tangente à la trace qu’elle laisse.

Ainsi, il est impossible que la trace bleue soit celle de la roue arrière car la courbe bleue possède des tangentes qui ne touchent pas la courbe noire.

thedudeminds_2013041521La trace noire est donc celle de la roue arrière, tel qu’on l’avait deviné. De plus, si on examine des tangentes à différents points Bi sur la trace noire,thedudeminds_2013041522on remarque que chacune de ces tangentes coupent la courbe bleue à deux endroits, Ai et Ci.thedudeminds_2013041523

La distance entre les Ai et Bi est constante, mais la distance entre les Bi et Ci est variable, le vélo n’a donc d’autre choix que de se promener de la droite vers gauche.thedudeminds_2013041524

Zone proximale de développement

Quelle est l’aire de la région ombrée dans le quadrilatère ci-dessous ?

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J’ai perdu la source exacte mais je me souviens de lire sur le subreddit /r/math les commentaires d’un père exaspéré concernant ce problème que sa fille devait compléter dans ses devoirs. Il était incapable de le résoudre et se demandait comment, ô infamie, peut-on donner à d’aussi jeunes esprits un problème aussi “difficile” !

Il se trouve que les auteurs du problème étaient aussi sur Reddit et leur réponse était brillante : un bon problème est un problème légèrement au dessus de nos aptitudes. Le problème doit être à la fois accessible et difficile, mais pas trop. Reproduire une démarche en changeant les nombres n’est pas “faire des mathématiques”. Ça prend une idée, un pattern, un moment d’illumination. Si on faisait plus souvent des mathématiques (et moins de “pluggage de chiffres”) à l’école et dans les devoirs à la maison, ce genre de défi ne causerait aucun affolement : au contraire, au lieu de prendre des allures menaçantes, il apparaîtrait à nos yeux (et surtout à ceux de l’élève) fort attrayant et plaisant à résoudre. Ce problème est à la portée de l’élève. Ce dernier doit avoir une idée, l’exploiter, et voir les choses sous un autre angle. Et il n’est pas trop difficile !

Et je rajouterais qu’il n’y a absolument aucun problème avec le fait de ne pas être capable de répondre adéquatement à la question : on a le droit à l’erreur en apprentissage. On a le droit à ne pas être capable en apprentissage. Il faut simplement savoir quoi faire avec cette erreur et quoi faire avec cet échec, par la suite.

Enfin, bref… Pour ma part, lorsque j’ai vu le problème, je n’ai pu résister. Hors, voilà, après quelques instants, il n’y a pas de honte, je ne “vois” pas. Mes premiers réflexes, entraînés par ces années à travailler avec des manuels scolaires souvent rébarbatifs, sont d’essayer de trouver les longueurs inconnues des cathètes des triangles rectangles blancs. Un x ici, un y là. Or, mon intuition me pousse pourtant dans le sens contraire : il s’avère qu’on ne semble pas connaître suffisamment d’informations pour y arriver (trouver les mesures manquantes). Comme la question est sur Internet, je suis donc assis à l’ordinateur, et d’un clic j’ouvre Géogébra et je me dis que je pourrais reproduire la figure à l’échelle. Pour les élèves, cette tâche est déjà un défi en soi (comment reproduire la figure adéquatement en respectant les contraintes …)

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Cela fait, et là, surprise ! Le quadrilatère peut se déformer, mais la région ombrée a toujours la même aire !

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Et c’est le moment d’illumination, ce moment si cher, privilégié ! Et la géométrie dynamique, quel outil génial d’apprentissage ! Il suffit donc de tracer une diagonale comme dans la figure ci-bas.

thedudeminds_2013041904On se retrouve avec deux triangles dont les hauteurs tombent à l’extérieur du triangle, sur le prolongement du côté opposé. Le premier triangle a une base de 6 et une hauteur de 5, le deuxième triangle a une base de 3 et une hauteur de 8 (plus difficile à voir). L’aire de la région ombrée est donc de (6 × 5)/2 + (3 × 8)/2 = 15 + 12 = 27

Voilà ! Ça parait si simple !

Dix quatre-vingt-neuvieme

On commence avec cette curieuse question

Quelle est la somme, si elle existe, dethedudeminds_20130405182(2)

On reconnaît les termes de la suite de Fibonacci, multipliés par des puissances de 10 correspondant à leur rang. Cette somme existe et, ô surprise, il s’agit en plus d’un nombre rationnel !

 

Dans ce billet, on répondra à cette question et on fait même un peu plus, pour la chance. On reprend, d’abord, la très célèbre suite de Fibonaccithedudeminds_2013040501

et on cherche ce qu’on appelle la fonction génératrice de la suite. Cette fonction génératrice nous permettra plus tard de trouver une expression de forme fermée (closed form pour les anglophones) pour calculer la valeur du nième terme de la suite (sans calculer tous les termes précédents avec la formule par récurrence). On s’intéressera enfin à la réponse à la question posée en préambule.

On commence donc par chercher une fonction génératrice de la suite, c’est-à-dire qu’on cherche une fonction polynomiale f

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dont les coefficients des termes en z sont justement les termes de la suite de Fibonacci. Comme il existe une infinité de termes pour la suite de Fibonacci, la fonction possède elle aussi une infinité de termes. Et comme en plusthedudeminds_2013040601sont tous des entiers positifs, et même quethedudeminds_2013040602on peut déjà se demander si cette fonction converge pour certaines valeurs de z autres que, par exemple, z = 0. S’il est facile de vérifier quethedudeminds_2013040504il est aussi facile de vérifier que la série diverge pour d’autres valeurs de z : d’un coup d’œil, on constate qu’elle diverge pour des valeurs de z supérieure ou égale à 1. On laisse cependant pour l’instant cette question plus technique en plan, avant d’y répondre plus tard, lorsqu’on aura exprimé la fonction sous une forme plus pratique. On multiplie deux fois la fonction, d’abord par z puis par z2.thedudeminds_2013040505On soustrait les deux équations du bas à la première. On remarque que tous les termes à partir de z2 disparaissent. En effet, en se rappelant la définition même des termes de la suite de Fibonacci, on a, par exemple, pour les termes en z2 seulementthedudeminds_2013040507puis pour les termes en z3 thedudeminds_2013040508et ainsi de suite… De plus, commethedudeminds_2013040506il ne reste à la fin quethedudeminds_2013040509ce qui est tout simplement
thedudeminds_2013040510Ah ! On a doncthedudeminds_2013040511et en effectuant la mise en évidencethedudeminds_2013040512on obtient une nouvelle expression pour la fonction f, une forme fermée de fthedudeminds_2013040513Avant de continuer, une petite division avec crochet fort distrayante illustre de belle manière cette dernière égalitéthedudeminds_2013040501

Il n’y a pas à dire : ces coefficients sont les termes de la suite de Fibonacci !

On tente ensuite d’exprimer la fraction de droite comme une somme de “fractions partielles”. Afin d’y arriver, on utilise une fonction génératrice plus simple, telle quethedudeminds_2013040520On posethedudeminds_2013041508En développant la partie de droite on obtientthedudeminds_2013040521ou de manière équivalente
thedudeminds_2013040522En outre,thedudeminds_2013041505et les expressionsthedudeminds_2013040524correspondent aux coefficients Fn des zn, c’est-à-dire aux termes de la suite de Fibonacci. On essaie donc de trouver des A, B, α et β tels que thedudeminds_2013040523En mettant la somme à gauche sur le même dénominateur, on obtientthedudeminds_2013040525c’est-à-dire qu’on a
thedudeminds_2013040526et qu’il faut résoudre le système d’équations suivantthedudeminds_2013040527thedudeminds_2013040528En examinant la première équation, on peut s’attaquer aux valeurs de α et β en tentant de factoriser le trinôme.thedudeminds_2013040603dont le terme constant est 1. En complétant le carré et en factorisant la différence de carrés, on obtientthedudeminds_2013040604et cela nous donne des valeurs pour α et βthedudeminds_2013040605Le premier nombre est bien connu, c’est le nombre d’or, tel que vu ici par exemple. On note généralement le nombre d’or avec la lettre grecque φ. On remarque au passage que thedudeminds_2013040606Puisquethedudeminds_2013040607il ne reste qu’à trouver A et B dansthedudeminds_2013040528En posant z = 0, on trouve facilement que B = -A. Du coup, l’équation précédente devientthedudeminds_2013040608En divisant par z ≠ 0thedudeminds_2013040609puis en effectuant la mise en évidence de A,thedudeminds_2013040610on obtientthedudeminds_2013040611Un peu d’algèbre élémentaire nous permet d’écrire d’abord cecithedudeminds_2013040612puis de simplifier davantagethedudeminds_2013040613
On trouve par le fait même quethedudeminds_2013043001Cela nous permet de de remplacer AB, α et β d’abord dansthedudeminds_2013040523afin d’obtenir la fonction f comme somme de fractions partielles
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Et commethedudeminds_2013041101c’est-à-dire quethedudeminds_2013041102on peut enfin trouver pour quelles valeurs de z est-ce que la fonction existe, autrement dit, pour quelles valeurs de z est-ce quethedudeminds_2013041601 converge. La première somme converge si thedudeminds_2013041610On obtient doncthedudeminds_2013041104La deuxième somme converge si thedudeminds_2013041611et on obtientthedudeminds_2013041105

Puisquethedudeminds_2013041501on trouve que la série converge seulement pour des valeurs de z entrethedudeminds_2013041503

Par ailleurs, on obtient également un résultat fort intéressant, la formule pour le nième terme de la suite de Fibonacci, les coefficients de zn dans f(z). En remplaçant A, B, α et β dansthedudeminds_2013040524on athedudeminds_2013041506qu’on peut réécrire comme thedudeminds_2013041507

formule qui a été découverte par Daniel Bernoulli en 1728 et ensuite tombée dans l’oubli jusqu’à ce que Jacques Binet la redécouvre en 1843. Un peu d’algèbre nous permet de la transformer sous d’autres formes couramment rencontrées dans la littérature et sur internet.

On s’attarde enfin à la question du début du billet, à savoir vers quel nombre converge la somme suivante

thedudeminds_2013041509Aussi étonnant que cela puisse paraître, la somme existe et c’est un nombre rationnel de période 44thedudeminds_2013040519On réutilisethedudeminds_2013041510et on posethedudeminds_2013041511afin d’obtenirthedudeminds_2013040514c’est-à-direthedudeminds_2013040515outhedudeminds_2013041602

Référence : Ronald Graham, Donald Knuth et Oren Patashnik (1994), Concrete Mathematics : A Foundation In Computer Science

"Mathematics possesses not only truth, but supreme beauty - a beauty cold and austere, like that of a sculpture, without appeal to any part of our weaker nature... sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show."

- Bertrand Russel (1872 - 1970)