Un grand cône pour une aire donnée

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Quel est le rapport de la hauteur et du rayon du plus grand cône circulaire droit si l’aire latérale est donnée ?  [1] Le volume du cône est $$V = \frac{\pi \cdot r^{2} \cdot h}{3}$$où $r$ est le rayon de la base et $h$ est la hauteur du cône. On se rappelle que le cône est une surface développable : on obtient un secteur de disque.thedudeminds_2013070501

Tel que vu ici, l’aire du secteur, c’est-à-dire l’aire latérale du cône, est $$L = a\cdot \pi \cdot r$$Enfin, comme la hauteur, le rayon de la base et l’apothème du cône forment un triangle rectangle, on peut poser, avec Pythagore $$r^{2} + h^{2} = a^{2}$$Cela nous donne une expression pour $h^{2}$, $$h^{2} = a^{2}-r^{2}$$En utilisant la formule de l’aire latérale, on a aussi \begin{align*}L&=a \cdot \pi \cdot r \\ \\ \frac{L}{\pi \cdot r} &=a\end{align*}En remplaçant on obtient \begin{align*}h^2 &= a^2-r^2 \\ \\ &=\left(\frac{L}{\pi \cdot r}\right)^{2}-r^{2} \\ \\ &=\frac{L^2}{\pi^{2}\cdot r^{2}} -r^{2}\end{align*}ce qui fait finalement $$h = \sqrt{\frac{L^2}{\pi^{2}\cdot r^{2}}-r^{2}}$$Cette expression pour la hauteur nous permettra d’exprimer le volume avec seule $r$ comme variable. \begin{align*}V &= \frac{\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3} \\ \\ &= \frac{\pi }{3} \cdot r^{2}\cdot \sqrt{\frac{L^2}{\pi^{2}\cdot r^{2}}-r^{2}} \\ \\ &=\frac{\pi}{3} \cdot \sqrt{r^{4}\cdot \left(\frac{L^2}{\pi^{2}\cdot r^{2}}-r^{2}\right)} \\ \\ &=\frac{\pi}{3} \cdot \sqrt{\frac{L^{2}\cdot r^{2}}{\pi^{2}}-r^{6}}\end{align*} Ce n’est pas joli, mais on fera avec !

 

La dérivée du volume par rapport au rayon est  [2] $$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = \frac{\pi}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{L^2\cdot r^2}{\pi^2}-r^6}} \cdot \left(\frac{2\cdot L^2\cdot r}{\pi^2}-6r^5\right)$$ou, de manière équivalente, $$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = \frac{\pi}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{L^2 r^2}{\pi^2}-r^6}} \cdot \left(\frac{2 L^2 r-6\pi^2 r^5}{\pi^2}\right)$$ ou encore, $$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} =  \frac{L^2 r-3\pi^2 r^5}{3\pi\sqrt{\frac{L^2  r^2}{\pi^2}-r^6}}$$On peut poser $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 0$ et résoudre. $$\frac{L^2 r-3\pi^2 r^5}{3\pi\sqrt{\frac{L^2 r^2}{\pi^2}-r^6}} = 0$$En considérant le numérateur, $$L^2r-3\pi^2r^5 = 0$$on peut factoriser $$r\left(L^2 – 3\pi^2r^4\right) = 0$$afin d’obtenir soit $r = 0$, soit $L^2-3\pi^2 r^4 = 0$. Dans le deuxième cas, on obtient \begin{align*}L^2 &= 3\pi^2 r^4 \\ \\ \frac{L^2}{3\pi^2} &= r^4 \\ \\ \frac{L}{\sqrt{3}\pi} &= r^{2}\\ \\ \sqrt{\frac{L}{\sqrt{3}\pi}} &= r\end{align*} On a donc une expression pour le rayon en fonction de l’aire latérale. On peut retrouver la valeur de $h$ en remplaçant dans $$h = \sqrt{\frac{L^2}{\pi^{2} r^{2}}-r^{2}}$$Ce n’est toujours pas joli, mais quelques étapes algébriques nous permettent d’obtenir \begin{align*} h&=\sqrt{\frac{L^2}{\pi^{2} \frac{L}{\sqrt{3}\pi}}-\frac{L}{\sqrt{3}\pi}}\\ \\  &= \sqrt{\frac{\sqrt{3}L}{\pi} – \frac{L}{\sqrt{3}\pi}} \\ \\ &= \sqrt{\frac{3L}{\sqrt{3}\pi} – \frac{L}{\sqrt{3}\pi}} \\ \\ &=\sqrt{\frac{2L}{\sqrt{3}\pi}}\end{align*}

Enfin, il est possible de calculer le rapport $\displaystyle$ optimal : \begin{align*}\frac{h}{r}&=\frac{\sqrt{\frac{2L}{\sqrt{3}\pi}}}{\sqrt{\frac{L}{\sqrt{3}\pi}}}\\ \\&=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{L}{\sqrt{3}\pi}}}{\sqrt{\frac{L}{\sqrt{3}\pi}}}\\ \\ &=\sqrt{2}\end{align*}

Le rapport entre la hauteur du cône et le rayon est $\sqrt{2}$  [3]. On peut aussi calculer le volume maximal (exprimé avec $L$). \begin{align*}V&=\frac{\pi}{3} \cdot r^2 \cdot h \\ \\ &=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{L}{\sqrt{3}\pi}\cdot \sqrt{\frac{2L}{\sqrt{3}\pi}} \\ \\ &= \sqrt{\frac{\pi^2}{9}} \cdot \sqrt{\frac{L^2}{3\pi^2}} \cdot \sqrt{\frac{2L}{\sqrt{3}\pi}} \\ \\ &=\sqrt{\frac{2L^3}{27\sqrt{3}\pi}}\end{align*}

 

En prime, on reprend $$r^2 + h^2 = a^2$$et on remplace,$$r^2 + \left(\sqrt{2}r\right)^2 = a^2$$ce qui fait$$r^2 + 2r^2 = a^2$$et donc$$3r^2 = a^2$$dont on tire$$\sqrt{3}r = a$$En reprenant le secteur circulaire, avec, ici, le cercle complet de rayon $a$, on a $$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{2\cdot \pi \cdot r}{2\cdot \pi \cdot a}$$puisque l’angle au centre est proportionnel à la longueur de l’arc intercepté.thedudeminds2016112901En remplaçant, $$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{2\cdot \pi \cdot r}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{3}r}$$puis en simplifiant et multipliant, on obtient $$\theta = 360^{\circ} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 207,846^{\circ}$$Ainsi, pour construire un cône de volume maximal avec une aire latérale donnée, on devrait déterminer dans le grand disque un angle au centre d’environ 208°. Bien que les équations données précédemment décrivent précisément le cône, en particulier la hauteur et le rayon, à partir de l’aire latérale $L$, comment ferait-on pour construire ledit cône étant donné $L$ ? On se rappelle que l’aire du secteur est proportionnel à l’angle au centre  [4], $$\frac{L}{\pi \cdot a^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$On trouve donc \begin{align*}\frac{\sqrt{3}L}{\pi} &= a^2 \\ \\ \sqrt{\frac{\sqrt{3}L}{\pi}} &= a\end{align*}À titre d’exemple, on construit un cône dont l’aire latérale est égale à 355 cm2. On trace un cercle de rayon $$a = \sqrt{\frac{\sqrt{3}\cdot 355}{\pi}} \approx 14$$en cm. On mesure ensuite un angle au centre d’environ 208° et on découpe !

 

 

[1] Je ne me rappelle plus des détails, mais il y a une bonne dizaine d’années, j’avais lu, dans le magazine Tangente, dans un dossier sur l’empirisme, que les Amérindiens construisaient des tipis de manière optimale ou presque ; tout comme d’autres peuples ailleurs dans le monde accomplissaient aussi d’autres activités de manière optimale (je crois que l’exemple des Romains était de tuer un homme d’un coup de couteau au cœur, joie!). L’aire latérale, dans le cas du tipi, étant faite de peaux, on comprend la nécessité de maximiser le volume. L’article relatait que ces habiletés étaient le fruit d’une “analyse” empirique à très long terme, des savoirs qui se passaient de génération en génération. Comme on dit, c’est en forgeant qu’on devient forgeron ! Ceci étant dit, je ne crois pas que le tipi de l’image du début du billet, tirée de Wikipedia, respecte les conclusions de ce billet !

[2] La dérivée de $f(x) = \sqrt{g(x)}$ est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot g'(x)$.
[3] Un problème semblable fréquemment rencontré est celui-ci : on doit déterminer le rapport entre le rayon et la hauteur du cône de plus grand volume construit à partir d’un disque de rayon $a$ (tel que résolu ici, par exemple : https://youtu.be/dNSk4coSpUc). De manière équivalente, c’est le volume maximal d’un cône d’apothème donnée. Le rapport dans cet autre problème est aussi $\sqrt{2}$, mais c’est la valeur du rapport inverse, c’est-à-dire $\frac{r}{h}$ au lieu de $\frac{h}{r}$. De mémoire, on doit découper dans le disque un secteur circulaire dont l’angle au centre est environ 294­°. Une recherche de « maximiser le volume d’un cône » sur Internet, en français ou en anglais, nous amène vers la résolution de ce problème (dans lequel $a$ est donné) ou celui du cône de volume maximal inscrit dans une sphère. J’ai trouvé bien peu de ressources sur le cône de volume maximal avec une aire latérale donnée, d’où ce billet !
[4] On aurait pu aussi réutiliser $r^2 + h^2 = a^2$. On obtient \begin{align*}\frac{L}{\sqrt{3}\pi} + \frac{2L}{\sqrt{3}\pi} &= a^2 \\ \\ \frac{3L}{\sqrt{3}\pi} &= a^2 \\ \\ \frac{\sqrt{3}L}{\pi} &= a\end{align*}

Avertissement : dénombrabilité explicite

La dénombrabilité de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ fait souvent l’objet de jolies preuves, comme celle-ci, une “preuve sans mot”,

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En voici une autre plus explicite. On considère la fonction $g : \mathbb{N} \times \mathbb{N}\to \mathbb{N} $ telle que $$g(x, y)  =2^x \cdot 3^y$$

On note que $g$ n’est pas surjective, parce qu’il existe des nombres $n\in \mathbb{N}$ dont la décomposition en facteurs premiers incluent des facteurs autres que 2 ou 3. Mais la fonction $g$ est néanmoins injective car le Théorème fondamental de l’arithmétique (coucou Euclide !) nous assure que chaque couple $(x, \, y)$ est associé par la fonction $g$ à un unique nombre naturel $2^x \cdot 3^y$. C’est suffisant pour montrer la dénombrabilité de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ puisque $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ est en bijection avec un sous-ensemble de $\mathbb{N}$. Et comme un sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est lui même dénombrable, $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ est dénombrable.

 

 

Références : Wikipedia : The Cantor pairing function assigns one natural number to each pair of natural numbers, image par Cronholm144

Croom, Fred H., Principles of Topology, 2016

Ceci n’est pas une surface réglée non-orientable

Le ruban de Möbius

Le symbole du recyclage, aujourd’hui universellement reconnu, a été créé en 1970 par un étudiant en design de 23 ans de l’Université de la Californie du Sud, Gary Anderson. Le pictogramme a reçu sa consécration à l’issu d’un concours créé en marge de la première Journée de la Terre.recycle_1Les trois flèches, en se repliant, forment un ruban de Möbius (un ruban avec un demi-tour), un objet mathématique fascinant ! Le pictogramme soumis par Anderson, à l’époque, tenait le triangle formé par les trois flèches en équilibre sur un de ses sommets. Aujourd’hui, le triangle repose plus souvent sur sa base (rotation de 60° par rapport à l’original), tel que dans le pictogramme ci-dessus.

L’«autre» ruban

Si vous avez l’œil, cependant, vous remarquerez sur les objets qui vous entourent qu’on rencontre de plus en plus le symbole ci-dessous, légèrement différent du précédent. Quand on les place un à côté de l’autre, la différence est évidente, mais pris seuls, c’est plus subtil. Le symbole du recyclage n’étant pas enregistré, il est du domaine public et son utilisation n’est pas contrôlée et relève de la pleine et entière responsabilité de l’industriel ou de l’organisation qui s’en sert. Le symbole ci-dessous en est donc une imitation inexacte apparut au fil des ans et utilisée à grande échelle.
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On devine facilement la raison pour laquelle le deuxième pictogramme est couramment utilisé : il s’agit d’une flèche reproduite trois fois (deux rotation de 120° suffisent). C’est beaucoup plus simple que de devoir dessiner une troisième flèche différente des deux autres qui ne se plie pas dans le même sens. Ceci étant dit, ce deuxième pictogramme n’est pas un ruban de Möbius, puisqu’il comporte trois demi-tours.

J’aime bien le ruban de Möbius, et j’ai donc un biais naturel pour l’original, mais je n’ai rien contre l’utilisation du deuxième pictogramme. Cependant, il ne faudrait quand même pas faire référence au deuxième pictogramme comme un ruban de Möbius ! Je ne suis pas éditeur de Wikipedia, mais je parie que ceux qui ont écrit la page suivante sur Wikipedia français, eux, n’étaient pas mathématiciens ! Une âme charitable sait-elle comment corriger cette erreur ?

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Sources : Claudi Alsina and Roger B. Nelsen, A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century, MAA Press 2015

Symbole du recylage, https://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_du_recyclage

Recycling symbol, https://en.wikipedia.org/wiki/Recycling_symbol

“Volumetric” “area”

Les compagnies de livraison ont des règlements très particuliers pour les dimensions des colis qu’elles acceptent. Elles se basent toutes sur une variation d’un même concept (que la compagnie anglaise myHermes avait baptisé volumetric area, avec beaucoup de sérieux, bien qu’on ne parle ni de volume, ni d’aire, mais bien d’une longueur. myHermes a depuis retiré le terme de leur site.) On considère à titre d’exemple les restrictions de l’une de ces compagnies, certainement une des plus connues, mais qu’on gardera néanmoins anonyme.

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UPS ? Postes Canada ? USPS ? Mystère !

Elle définit le plus long côté du colis comme la “longueur” du colis.

  • La longueur du colis ne doit pas dépasser 108 po.
  • Si on fait la somme des mesures des deux plus petits côtés, qu’on double cette somme (on obtient “le tour de taille”) et qu’on ajoute ensuite la mesure de la longueur, le total (la somme du “tour de taille” et de la longueur) doit être inférieur ou égal à 165 po.

On peut traduire ces contraintes de manière formelle. On considère le prisme droit à base rectangulaire suivant, avec $x \leq y \leq z$.

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On a donc $$z \leq 108$$et $$2\left(x + y\right) +z  \leq 165$$La question est la suivante : quelles sont les dimensions d’une boîte qui satisfasse ces contraintes et qui possède le volume maximal (et quel est ce volume) ?

Divulgâcheur : ce n’est pas un cube !

 

The inégalité

Bien que cela soit un calcul d’optimisation (on maximise le volume sous certaines contraintes), on peut s’en tirer, avec un peu d’astuce et notre inégalité des moyennes arithmétique et géométrique, sans calcul différentiel (rien de personnel, calcul différentiel). L’inégalité pour 3 nombres stipule que $$\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}$$ou, de manière équivalente, $$abc \leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{3}$$Dans notre cas, on a, d’une part $$2x + 2y + z \leq 165$$et, d’autre par,$$V=xyz$$On cherche bien sûr à maximiser $V$, le volume en po3. Il suffit de faire apparaître $2x$ et $2y$ dans le calcul de $V$\begin{align*}V&=x\cdot y\cdot z \\ \\&=\frac{2x}{2}\cdot \frac{2y}{2} \cdot z \\ \\ &= \frac{1}{4} \left(2x \cdot 2y \cdot z\right)\end{align*}puis d’appliquer l’inégalité\begin{align*}V&= \frac{1}{4}\left(2x \cdot 2y\cdot z\right) \\ \\ &\leq \frac{1}{4}\left(\frac{2x + 2y + z}{3}\right)^{3}\end{align*}En utilisant $$2x + 2y + z = 165$$on obtient$$V \leq \frac{1}{4}\left(\frac{2x + 2y + z}{3}\right)^{3} = \frac{1}{4} \left(\frac{165}{3}\right)^{3} = \frac{166\ 375}{4} = 41\ 593,75$$Le volume maximal est donc 41 593,75 po3 et ce maximum est atteint lorsqu’on a $2x = 2y = z$. Ainsi, la boîte a pour dimensions$$27,5 \times 27,5 \times 55$$ce qui correspond à deux cubes dont les arêtes mesurent 27,5 po, collés l’un contre l’autre.

"Mathematics possesses not only truth, but supreme beauty - a beauty cold and austere, like that of a sculpture, without appeal to any part of our weaker nature... sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show."

- Bertrand Russel (1872 - 1970)