merci du commentaire.

Si vous connaissez la traduction de cylindrical wedge n’hésitez pas à m’en faire part dans les commentaires !

Bonne journée,

The Dude

en effet, comme on doit faire très attention à l’énoncé dans les problèmes de probabilités (en évitant les formulations ambiguës qui donnent lieu à différentes interprétations et donc différents résultats), je donne l’énoncé original de la compétition Putnam de 1989 :

Problem B-1. A dart, thrown at random, hits a square target. Assuming that any
two parts of the target of equal area are equally likely to be hit, find the probability
that the point hit is nearer to the center than to any edge. Express your answer in
the form (a+sqrt(c))/d, where a, b, c, d are positive integers.

L’article n’est pas parfait encore, en particulier les images vont être corrigées.

Cordialement,
MathsPoetry

Scoop: ça parlera encore de crible !

preuve ingénieuse et fine !

À quand votre prochain article sur votre blogue ?

très bel article, j’ai une autre solution à proposer pour montrer que c’est impossible:

Soit S une somme de nombres d’un ou deux chiffres n’utilisant qu’une seule fois chacun des chiffres de 0 à 9. Alors S est congru à 45 modulo 3 (car tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 3). Si S=100 alors 45 est congru à 100 modulo 3, ce qui signifierait que 0 est congru à 1 modulo 3, ce qui est impossible !

Je prends bonne note des suggestions !

À seule fin de simplifier les calculs, on trouve que le ppcm de 18, 28, 34 et 54 est 12852.

Ainsi, pour parcourir 12852 milles, la compacte consomme 378 gallons alors que l’hybride consomme 238. On réalise une économie de 140 gallons. Pour parcourir la même distance, le VUS consomme 714 gallons alors que la berline en consomme 459 : une économie de 255 gallons !

Il est donc beaucoup plus avantageux de changer le VUS pour la berline, quoi qu’en disent les mpg affichés !

j’écris ce blogue d’abord pour moi, pour y confiner et conserver quelques résultats que je trouve intéressants dans un format que je trouve plaisant. Les lecteurs peuvent y trouver ce qu’ils veulent. Sauf à de rares exceptions, et c’est assez clair je crois, je m’autorise rarement des prétentions ou des remarques pédagogiques. Peut-être ces remarques prendront-elles éventuellement davantage de place mais ce n’est pas pour l’instant le but de ce blogue.

Bonne nuit

merci pour le lien. La question de l’enseignement des mathématiques est profonde et épineuse. La communauté des enseignants de mathématiques sur le web est fort heureusement très riche en réflexions, en échanges et en partage.

Je peux cependant vous assurez (si cela vous rassure !) que mes cours ne ressemblent pas du tout à mon blog !

Bonne journée !

The Dude

J’ai pensé que ce lien peut vous interesser

http://www.slate.fr/lien/60005/maths-matiere-inutile

“c’est essentiel d’habituer les élèves à y recourir mais avec prudence (je ne pense pas qu’un élève peut envisager les deux cas comme vous l’avez fait s’il ne pense pas à distinguer les cas .”

je n’aurais pas pu mieux le dire. Et je suis tout à fait d’accord avec vous concernant les difficultés inhérantes à l’enseignement (à l’apprentissage) de la preuve.

Bonne journée à vous aussi et bon courage !

Si on veut étendre l’objectif, ( comme vous avez étendu la lois des sinus) au delà de la démonstration de cette lois, aux problèmes et obstacles que rencontrent les élèves en mathématiques et particulierement en géométrie et qui sont liés principalement à la démonstration ( bete noire des élèves), alors la figure géométrique est l’un des piliers de la démonstration et c’est essentiel d’habituer les élèves à y recourir mais avec prudence (je ne pense pas qu’un élève peut envisager les deux cas comme vous l’avez fait s’il ne pense pas à distinguer les cas . Chose qui se base sur un raisonnement independemment de la fig geo.

A ce propos, j’ai un exercice de géométrie au collège, dont la construction de la fig geo qui va aider à démontrer le résultat demandé, démontre ce résultat. Je vous l’enverrai prochainement.

Bonne journée

je ne vois pas l’intérêt, dans un problème de géométrie, de “ne regarder ,ni se representer mentalement la figure géométrique”. Au contraire, je crois que réfléchir en toute rigueur à l’aide d’un support visuel juste est même parfaitement adéquat (je ne veux pas non plus radoter sur les vieux trucs des schémas erronés, les années ’60 sont finies).

Malgré cela, même sans figure, il faut être capable lorsqu’on pose un problème de considérer les différentes avenues. Parfois ces différentes avenues mènent à la même démarche “algébrique” et parfois non (comme dans la deuxième preuve du billet). Et parfois on peut s’accommoder d’une convention et regrouper sous une même démarche “algébrique” les différentes avenues : je donne comme exemple en géométrie la convention des mesures signées de segments. Parfois non.

Dans le cas spécifique, et je considère que vous avez pris compte du contexte dans lequel je vois cette preuve avec les élèves, dans un triangle ABC, si l’angle A est obtus, alors la hauteur issue de C tombe à l’extérieur du triangle, sur le prolongement de AB. C’est le triangle rectangle ACD que l’on considère qui possède l’angle aigu que l’on utilise pour poser le rapport trigonométrique et cet angle n’est pas l’angle A du triangle ABC initial. L’expression

sin(A) = h/b

n’a donc aucun sens à ce moment. Il faut donc spécifier que les sinus de ces deux angles (supplémentaires) sont égaux afin d’énoncer la loi des sinus.

Bonne soirée,

The Dude

d’abord merci du commentaire. Je ne comprend pas exactement qu’est-ce qui pourrait s’effondre. Dans la première partie, si on a vu le cercle trigonométrique, alors oui, effectivement, la remarque concernant les sinus d’angles supplémentaires est, à la rigueur, superflue (mais pas fausse), puisqu’on sait que

h = b * sin(A)

que A soit aigu ou obtus. Cette (première) démonstration s’inscrivait davantage dans un contexte de rapport trigonométrique dans le triangle rectangle

sin(A) = cathète opposée / hypoténuse

Les élèves travaillent avec des triangles rectangles pendant un moment et dans lesquels l’angle A est toujours aigu. Qu’arrive-t-il dans les triangles non-rectangles ? C’est dans ces cas-là qu’on voit la loi des sinus (et la loi des cosinus). Or un triangle non-rectangle peut être obtusangle, et il faudra éventuellement considérer un sinus d’angle obtus bien qu’à partir de notre définition (de rapport trigonométrique, pas du sinus dans le cercle) cela semble aberrant : on leur montre alors que pour être cohérent, on a bien la relation suivante

sin(A) = sin(180° – A)

et la loi des sinus tient pour les triangles obtusangles. Lorsque les élèves voient le cercle trigonométrique alors cette propriété prend encore plus de sens…

Pour la deuxième preuve, la remarque sur les sinus d’angles supplémentaires m’apparaît essentielle puisque les angles A et D n’interceptent pas les mêmes arcs comme c’est le cas lorsque l’angle est aigu.

Au plaisir,

Je ne connais pas les détails exacts. J’étais moi aussi bouche bée devant ce spectacle ! Vous trouverez plus d’informations ici :

http://www.conwaylife.com/wiki/OTCA_metapixel

ou en effectuant une recherche de “OTCA metapixel”.

Bonne journée !

j’ai noté les commentaires et j’ai essayé d’être plus clair (je ne parle plus de fonction linéaire et j’ai mis le calcul des accroissements des abscisses et ordonnées pour être plus transparent).

Pour la démonstration, une fonction exponentielle f(x) = c^x est dérivable et la tangente au point P(x0, y0) passe par l’origine seulement si
f’(x0) = f(x0)/x0. Dans notre cas, je crois qu’il suffit de choisir correctement x0 comme 1/ln(c) et le reste devrait suivre.

Pour un traitement plus approfondi sur des familles larges de fonctions possédant cette propriété, je vous renvoie à

Dietel & Gordon, Off on a Tangent. The College Mathematics Journal, Vol.34 2003

Je crois qu’il est (didactiquement) logique de considérer 0 digne représentant de 3 possibilités : le neutre, +0 et -0.

Le neutre découle de la définition même des entiers : un entier positif et un entier négatif est équivalent au neutre.

+0 et -0 seraient plus en lien avec la soustraction :

(+2) – (+2) = (+0)
et
(-2) – (-2) = (-0)

Si on y va un peu concrètement (voir mon blogue : http://www.gilles-jobin.org/jobineries/index.php?2005/04/17/179-lunivers-du-zero ) on pourrait dire :
Enlever 2 billes blanches à un ensemble qui contient 2 billes blanches donne 0 bille «blanche»
et enlever 2 billes noires à un ensemble qui contient 2 billes noires donne 0 bille «noire».

Il faut juste (comme toujours !) avoir bien conscience du CONTEXTE dans lequel on se trouve.

À la page “decreasing function” :
A function f(x) decreases on an interval I if f(b) < = f(a) for all b > a, where a,b in I.

À la page “nonincreasing function” :
A function f(x) is said to be nonincreasing on an interval I if f(b) < = f(a) for all b > a, where a,b in I.

Donc deux termes différents qui désignent exactement la même affaire !

Et pour le sens de la variation, surprise ! Ils utilisent le mot “strictly” comme on utilise “strictement” en français

” If f(b) < f(a) for all b > a, the function is said to be strictly decreasing. [...] If f(b) > f(a) for all b > a, the function is said to be strictly increasing. ”

hmmmmm !

Là où cela devient complètement stupide, c’est lorsqu’on en arrive à la notion de sens de variation : la langue anglaise devient alors mathématiquement fausse, puisque “non decreasing function” devrait juste signifier « fonction non strictement décroissante » et non « fonction croissante ».

Comment ramener nos amis anglophones à la raison ?

Missmath, comme vous le savez, c’est réciproque puisque je suis un avide lecteur de votre blogue !

http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf

révèle beaucoup de cosa, mais pas beaucoup d’équations ! On retrouve cependant plusieurs figures géométriques sur lesquelles le raisonnement algébrique s’appuie (comme c’était encore le cas à l’époque).

Je crois aussi que les enseignants de mathématique du secondaire devraient savoir faire ces démonstrations.

(*soupir*)

Les coefficients peuvent être plus grand que 10. Dans notre écriture dans d’autres bases il faudra seulement utiliser d’autres symboles (par exemple : A = 10, B = 11, C = 12, D = 14, …)

Je n’ai pas eu le temps récemment d’écrire beaucoup mais je compte m’y remettre.

vous avez un bon point. Si on veut montrer que (1 + 1/k)^k lorsque k tend vers l’infini est égal à la somme des 1/(n!) lorsque n tend vers l’infini, alors oui, cela exige du lecteur des connaissances mathématiques de plus haut niveau (donc effectivement, aucun problème à comprendre la preuve).

Cependant, si on ne considère que la série des 1/(n!), il n’est pas difficile de montrer que cette série converge vers une valeur entre 2 et 3. On pourrait donc sans problème, dans un premier temps, s’attarder à cette valeur et montrer qu’elle est irrationnelle. La suite viendrait éventuellement…

Quant au raisonnement par l’absurde, c’était bien sûr voulu ! C’était le but de la chose !

Je viens de découvrir votre site ! Une vraie mine d’or.

Par ailleurs, je viens de relire ce billet et j’y ai trouvé une coquille.

Bonne journée !

Non ?

La fonction f et ses propriétés existent cependant indépendamment de la conjecture. La pauvre n’était qu’une excuse…

Merci d’avoir partagé de lien.

J’avais oublié cette preuve car je la trouve un peu lourde et difficile pour des élèves de 4e secondaire.
Je me demandais s’il n’y avait pas une démonstration plus simple.
J’en connait une autre avec des vecteurs, mais c’est pour les élèves de 5e secondaire.
Bonne journée.
Frank

J’ai fait cette démonstration ici plus tôt cette année : http://www.thedudeminds.net/?p=1254

Bonne journée !

Merci! Beau travail.

Frank

J’ai redimensionné l’image. J’espère que vous serez en mesure de la voir au complet ! À la maison comme à l’école, la résolution de mon moniteur est très grande alors c’est pourquoi je n’y voyais aucun problème ! (Je vous ai ajouté OL)

un autre résultat amusant est que e^pi = (-1)^i est transcendant !

lesson : anglo
leçon : français

(C’est vrai que l’original tout en f est charmant.)

Cordialement,
ZAP

Merci Bistraque de votre commentaire !

tout cela sans mauvais esprit évidemment. Mon admiration pour M. Gardner date à peu près de cette époque, date des premiers numéros de Pour la Science…

Je trouvais aussi amusant que l’ultime précision nécessaire, dans la pratique, dans notre univers, soit à la disposition de n’importe quel quidam ingénu.

Estimer П à sa 50e ou sa 500 000 000 000e décimale donne toujours une estimation qui n’est pas П.

Pour ma part, j’aime que les mathématiques traitent des structures fondamentales et idéales. J’aime savoir qu’Euler, 200 ans avant WolframAlpha, aurait très bien pu calculer ces 39 ou 50 premières décimales ! (http://www.thedudeminds.net/?p=231)

Bonne journée !

tu as visé dans le mille puisque c’est justement en étudiant le flocon de Koch que nous en sommes venus à la trompette de Grabriel et au sujet du périmètre infini et aire finie. Le flocon fera l’objet d’un billet sous peu.

Merci de ton commentaire !

le flocon de Koch est bien aussi, d’autant que son aire peut simplement être majorée par celle d’un même cercle, quel que soit le niveau d’itération. :)

C’est effectivement beaucoup plus élégant d’utiliser le losange.

Merci pour cet apport !

C’est vrai que je n’apporte pas grand chose en nommant Thalès, qui n’est en fait qu’un cas particulier de triangles semblables. Et en plus, il paraît que le théorème n’est même pas dû à Thalès. Mais j’ai quand même trouvé éclairant le moment où j’ai reconnu Thalès sur cette figure, c’est pour ça que je l’ai écrit.

De même que j’ai trouvé éclairant le moment où j’ai reconnu F comme le centre de gravité du triangle AEE’ (E’ étant le symétrique de E par rapport à (AB)). Si l’on sait que le centre de gravité F est situé aux deux tiers de la médiane [AB]… Mais là, c’est sans doute moi qui prend un bazooka pour tuer une mouche.

Thalès est bien en évidence en effet. Mais il faut d’abord montrer que les droites sont parallèles à partir de la construction (ce qui est fait avec les alternes-internes isométriques de 60°). Si tu as une autre façon, je suis bien à l’écoute !

Bonne journée !

Et même si la célébration de pi a lieu à une heure on ne peut plus précise, je trouve désolant que le jour de Pi dure cette année que 23 heures.

Bonne journée !

On n’a qu’à ne pas le dire et garder tout ça secret !

Et je pense moi aussi qu’on devrait passer davantage de temps avec les nombres heureux que de faire calculer aux élèves, dans des contextes pseudo-mathématiques, le coût de l’entrée de garage (avec une fonction partie entière), le coût des matériaux pour le patio (avec une fonction affine), le coût de la piscine (avec une fonction quadratique), le coût de la main d’œuvre (avec un système d’équations), le coût de la clôture (en résolvant une équation du second degré) et le coût de du gazon (avec une fonction exponentielle), les sous-totaux, puis les taxes, les totaux, etc.

L’étude des nombres comporte de ce genre de projet. La découverte de régularités est un tremplin vers l’étonnement. Je pense aux nombres abondants, les nombres heureux, etc.

Ah ! Ces trucs vieux de 2000 ans…

http://www.geogebra.org

C’est gratuit et libre et vraiment génial (on oublie rapidement Cabri et tous les autres). Il suffit d’avoir JAVA (gratuit aussi) d’installé.

Bonne journée !

De votre part, cela prend une grande signification. C’est un projet qui me trottait dans la tête depuis un moment et que je viens de mettre en ligne. J’y prend beaucoup de plaisir.