Les triplets pythagoriciens offrent de belles situations de conjectures et de preuves à faire avec les élèves.  Et cela peut se faire avec une table de seulement quelques triplets de Pythagore.

Conjecture :

Dansil y a toujours au moins un des trois nombres, a, b ou c qui est pair.

Preuve : Supposons que les trois nombres soient impairs, et exprimons-les de telle façon :

avecL’équationdevientEn développant on obtientPlaçons ensuite les variables à gauche et les termes constants à droiteAjoutons 4 de chaque côté pour obtenirEt finalement effectuons la mise en évidence de 4 à gaucheEt là nous obtenons une contradiction puisque 4 n’est évidemment pas un diviseur de 3.

Note : on peut aussi montrer que c’est a ou b (ou les deux) qui doit toujours être pair.

En effet, si on suppose que c est pair et quemais que a et b soient encore impairs et donc queettoujours avecOn obtientet en développantEn regroupant les termes semblables on obtientOn place maintenant les constantes à droite et les variables à gaucheet enfin on ajoute 4 de chaque côtéLa mise en évidence simple de 4 à gauche

nous amène à la contradiction recherchée : 4 n’est pas un facteur de 2 !  Il faut donc que, si tous les trois ne sont pas pairs, soit a ou b soit pair (et les deux autres impairs).

Conjecture :

Dansau moins un des deux nombres, a ou b, est divisible par 3.

Preuve : Tout nombre entier peut s’exprimer comme

ouavec

Supposons que ni a, ni b ne soient divisibles par 3.  À une permutation près, nous avons trois possibilités.  a et b sont de la même forme :

ouou alors a et b ne sont pas de la même formeavecDans le premier cas on obtientce qui fait lorsqu’on développeet donc

Tous les termes sauf le dernier sont divisibles par 3.  Le reste de la division de 2 par 3 est 2.  Dans le deuxième cas on obtient

ce qui fait lorsqu’on développeet donc

Encore une fois, tous les termes sauf le dernier, 8, sont divisibles par 3.  Le reste de la division de 8 par 3 est 2.  Enfin, dans le troisième et dernier cas on obtient

ce qui fait lorsqu’on développeet donc

Tous les termes sont divisibles par trois, sauf le dernier, 5.  Le reste de la division de 5 par 3 est 2.

C’est donc dire que si a et b ne sont pas divisibles par 3, le reste de la division depar 3 sera toujours 2 !  C’est embêtant puisque c est soit de la formece qui fait, lorsqu’on l’élève au carréun nombre divisible par 3 (sans reste).  Sinon, c est de la formece qui fait, lorsqu’on l’élève au carré

Les deux premiers termes sont divisibles par 3, mais pas le dernier : le reste de la division de 1 par 3 est 1.  On a donc un reste de 1.   Enfin, si c est de la forme

ce qui fait, lorsqu’on l’élève au carré

on obtient une expression dans laquelle les deux premiers termes sont divisibles par 3, mais pas le dernier : le reste de la division de 4 par 3 est 1.  On a donc encore un reste de 1.

C’est donc dire que les seuls restes possibles d’une division de par 3 sont 0 ou 1, ce qui est en contradiction avec le résultats précédent : que le reste de la division de a2 + b2 par 3 est 2 !  Conclusion : au moins a ou b doit être divisible par 3.

Note : On peut aussi montrer de la même manière qu’au moins un des trois nombres doit être divisible par 5. On peut aussi montrer qu’au moins a ou b est divisible par 4.