Voici une méthode pour trisecter un segment.  Il en existe plusieurs, et même des méthodes requérant moins d’étapes mais voici probablement la plus connue.  Ce qui nous est donné : le segment AB.

On trace le cercle de centre A et de rayon AB.  On trace ensuite le cercle de centre B et et de rayon AB.  Ces deux cercles se croisent à deux endroits : appelons-les C et D.  Traçons le cercle de centre C et de rayon AC.  Notons au passage que ce cercle passe aussi par B et que

(c”est la méthode de construction d’un triangle équilatéral, Proposition 1 du Livre 1 des Éléments d’Euclide).  On trace ensuite la droite AC qui coupe le cercle de centre C en A (évidemment) mais aussi en E.  On trace la droite DE.  Cette dernière coupe AB en F.  Voilà !  On a

Notons d’abord que les trois cercles sont isométriques puisque la mesure de leur rayon est égale à la mesure du segment AB.  Considérons les triangles ABC et ABD.  Ce sont des triangles équilatéraux (chacun de leurs côtés est, justement, un rayon des trois cercles congrus).  Les angles intérieurs d’un triangle équilatéral sont tous de 60°.  En particulier, les angles BAC et ABD valent tous les deux 60°.

***Ici, Grasyop remarque qu’il existe une façon plus élégante d’établir la congruence des angles BAC et BAD.  On considère le losange ACBD (tous ses côtés ont pour mesure le rayon AB).  Les côtés opposés d’un losange étant parallèles, on trouve que les angles BAC et BAD sont des angles alternes-internes isométriques. *** Les angles AFE et BFD sont eux aussi  isométriques puisqu’ils sont opposés par le sommet.  Les triangles AEF et BDF sont donc semblables par le cas de similitude AA.

Et comme dans des triangles semblables les côtés homologues sont dans le même rapport, on déduit ceci : la mesure de AE étant égale à deux rayons et la mesure de BD à un rayon, le rapport de similitude est 2.  Et comme ce rapport est 2, cela implique que la mesure de AF vaut deux fois celle de FB.  Et si AF est effectivement deux fois plus grand que FB, alors on trouve que la mesure de AB est vaut trois fois celle de FB.   C’est la trisection recherchée.