L’astroïde est la trace du point P d’un cercle de rayon R/4 qui roule sans glisser à l’intérieur d’un cercle de rayon R.

Sur la figure : le grand cercle rayon OB, de centre O, le petit cercle rayon AP, de centre A, avec

qui roule sans glisser à l’intérieur du grand cercle.  On considère la trace du point P.  On remarque que le centre A du petit cercle décriera une trajectoire telle qu’un cercle de rayon

et de centre O (en pointillé sur la figure).  Le point E est le point de tangence entre les petit et grand cercles.

L’angle α est l’angle que forme le centre A du petit cercle, le centre O du grand cercle et l’axe des abscisses (en vert sur la figure, l’angle AOB, calculé dans le sens habituel, anti-horaire).  En traçant la droite AD parallèle à l’axe, on obtient des angles correspondants isométriques.  L’angle EAD a donc lui aussi pour mesure α.  En posant

calculé dans le sens horaire, on obtient

En posant enfin

on peut trouver les coordonnées du point A

et celles de P

ou en effectuant la mise en évidence :

(Remarquez que, les angles étant orientés, α dans le sens anti-horaire et φ dans le sens horaire, on additionne R/4 cos(φ) à l’abscisse et on soustrait R/4 sin(φ) à l’ordonnée.)

Comme le cercle roule sans glisser, on trouve aussi que les mesures des arcs EB et EDP sont égales.  On a

et

Cela nous permet d’écrire

ce qui fait

et donc

Il nous est donc possible de réécrire l’expression pour les abscisses

et les ordonnées du point point P de l’astroïde en fonction de α.  On obtient

et

Or, comme

et

on peut substituer les expressions cos(3α) et sin(3α) dans les équations précédentes.  On obtient pour les abscisses

ce qui se simplifie d’abord à

puis à

On obtient pour les ordonnées

ce qui fait d’abord

puis

et enfin tout simplement

Les équations

et

sont les équations paramétriques de l’astroïde.  On peut trouver la forme cartésienne générale comme suit.  Dans l’équation des abscisses, on divise les deux côtés par R

puis on prend la racine cubiqueque l’on peut aussi écrireOn élève au carré :ce qui fait

On procède ensuite avec les ordonnées, en divisant par R

puis en prenant la racine cubique

ce qui fait

On élève au carré

que l’on peut aussi réécrire comme

Il suffit enfin de ressortir notre bonne vieille identité trigonométrique

et de judicieusement remplacer

et

et obtenir En multipliant chaque terme par , on obtient l’équation cartésienne générale

dont voici la représentation graphique