La trisection de l’angle est un problème classique de géométrie.  On sait aujourd’hui que la trisection ne peut être réalisée à la règle (non-marquée) et au compas.  Par contre, la trisection peut être réalisée avec d’autres instruments, quelques mécanismes produisant des courbes (que l’on appelle, vous l’aurez deviné, des courbes trisectrices !) Le mathématicien grec Nicomède (env. -280 – env. -210) en a découvert une, la conchoïde qui porte son nom, et qui permet de réaliser la trisection d’un angle.  La conchoïde de Nicomède est probablement la plus connue des courbes trisectrices.  En voici une autre…

On construit la trisectrice de Ceva de telle manière.  On considère le cercle de centre A et que rayon AQ.  On considère aussi la droite AC.  La trisectrice est le lieu du point P, en déplaçant Q sur le cercle, tels que A, Q et P soient colinéaires (alignés sur une même droite), que B soit sur AC et que

Voyons d’abord pourquoi cette courbe porte le nom de trisectrice.  Appelons α la mesure de l’angle QAB.  Comme le triangle AQB est isocèle, la mesure de l’angle ABQ est aussi α puisque les angles opposés aux côtés isométriques dans les triangles isocèles sont isométriques.  Comme la somme des angles intérieurs d’un triangle est toujours 180°, la mesure de l’angle AQB est 180° – 2α.  La mesure de l’angle PQB est de 2α puisque ces deux angles sont adjacents supplémentaires.  Le triangle QBP étant à son tour isocèle, on trouve que la mesure de l’angle BPQ est donc elle aussi de 2α.  On trouve, dans le triangle BPQ,

Ce que l’on peut réécrire de la façon suivante

Les angles PBQ, ABQ et PBC étant adjacents supplémentaires, on peut aussi écrire

En substituant la mesure de l’angle PBQ on obtientce qui fait, bien entendu,

Trouvons maintenant les équations paramétriques de la courbe.  Plaçons A à l’origine du plan cartésien.  Plaçons C sur l’axe des abscisses.   Posons enfin

Les coordonnées de Q sont celles de B sontet donc celles de P sont

Mais sachant que

On peut réécrire l’abscisse de Pcommece qui fait d’abordpuis ensuiteet enfinSachant aussi queOn peut réécrire l’ordonnée de Pcomme

En posanton obtient les équationsdont voici la représentation graphique

Pour les coordonnées polaires, elles peuvent prendre différentes formes.  En posant

et en considérant le triangle rectangle d’hypoténuse AP, on trouve l’une de ces formes avec

(nul autre que le cosinus, rapport du côté opposé et de l’hypoténuse dans le triangle rectangle). Cela fait, en isolant r,et en simplifiant,Voilà !