Voici un petit problème relativement simple.

La somme de deux nombres est 2.  Le produit de ces deux mêmes nombres est 3.  Trouvez la somme des inverses de ces nombres.

En général, voici comment on procède pour trouver la solution.  Si x et y sont les nombres recherchés, alors on trouve

2009_12_04_01et2009_12_04_02En isolant y dans la première équation, on trouve

2009_12_04_03

Et en substituant y dans la deuxième équation par l’expression que l’on vient de trouver, on obtient

2009_12_04_04

Ce qui fait, après avoir distribué  x et rendu le tout égal à zéro2009_12_04_05

2009_12_04_06Les nombres recherchés sont donc

2009_12_04_07et

2009_12_04_08ce qui fait après simplifications

2009_12_04_10et

2009_12_04_11c’est-à-dire des nombres complexes que l’on réécrit comme

2009_12_04_12et

2009_12_04_13En se rappelant que

2009_12_04_14on obtient en simplifiant

2009_12_04_15et

2009_12_04_16La somme des inverses est donc

2009_12_04_17On peut effectuer cette somme en mettant d’abord sous dénominateur commun

2009_12_04_18ce qui fait après simplifications

2009_12_04_26et donc tout simplement2009_12_04_27

Impressionnant ! Mais aussi long et fastidieux !  Si l’on considère dès le départ la solution (la somme de des inverses des deux nombres)

2009_12_04_20et que l’on effectue cette somme en mettant sur même dénominateur, on obtient2009_12_04_21

2009_12_04_22

On trouve la somme des deux nombres, 2, au numérateur et le produit des deux nombres, 3, au dénominateur !2009_12_04_27Astucieux !

 

 

Référence : Alfred S Posamentier et Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems In Geometry