Pour un court (à peine 100 pages) exposé complet et relevé du sujet, écrit avec style, je vous recommande Continued Fractions d’A. Ya. Khinchin.  Et ne vous laissez pas berner par les deux premiers chapitres, je vous assure que cela se corse par la suite.

Un fraction continue simple est finie

ou infinie

Les lettres

sont les éléments de la fraction continue.  Dans le cas d’une fraction continue finie, on dit que la fraction continue est d’ordre n (et qu’elle contient n + 1 éléments).  Remarquons qu’une fraction continue finie est le résultat d’un nombre fini d’opérations rationnelles (addition et division).  Si les éléments

sont des nombres rationnels, alors cela implique évidemment que la fraction continue finie est toujours égale à un nombre rationnel.

Dans l’étude plus large des fractions continues, on peut considérer que les éléments

puissent représenter des nombres réels ou complexes, des fonctions à une variable réelle ou complexe, des fonctions de plusieurs variables, etc.  On considère pour notre part que ces nombres représentent uniquement des entiers strictement positifs.

En ce qui concerne les fractions continues infinies, il n’est pas immédiatement apparent que la fraction continue infinie converge vers un nombre réel (cela n’est pas sans rappeler la convergence ou divergence des séries infinies).  La fraction continue infinie converge vers un nombre réel, si la série suivante

diverge (cette condition est nécessaire et suffisante)[1].  Et comme en ce qui nous concerne les éléments de la fraction continue sont des entiers strictement positifs, cela nous assure que cette série diverge.  Les fractions continues finies et infinies dans lesquelles les éléments sont des nombres entiers strictement positifs convergent donc toutes vers des nombres réels (et dans le cas des fractions continues finies, vers des nombres rationnels).

Est-il cependant possible de trouver une correspondance entre les réels et les fractions continues ?  Les fractions continues convergent toutes vers un nombre réel, soit, et inversement, peut-on représenter tout nombre réel avec une fraction continue ?

Considérons le nombre réel (strictement positif) α.  Trouvons le plus grand entier a0 strictement inférieur à α.  Si α n’est pas un nombre entier, alors

Il est évident quepuisque

Si r1 n’est à son tour pas un entier, alors il suffit alors de trouver le plus grand entier a1 strictement inférieur à r1.   On obtient

et donc en remplaçant

À ce moment, on voit bien qu’en général, si rn pas un entier, alors il suffit alors de trouver le plus grand entier an strictement inférieur à rn afin d’obtenir

En tout temps, si rn est un nombre entier, le processus s’arrête et le nombre réel est représenté par une fraction continue finie.  Si α est rationnel, tout les rn seront rationnels.  Le processus n’aura donc autre choix que de s’arrêter éventuellement après quelques étapes. Si, par exemple

alors on trouvepuisqueCela implique donc que

si, évidemment, c n’est pas égal à zéro ou, en d’autres mots, si rn n’est pas un entier.  Le dénominateur de rn+1 est plus petit que celui de rn.  En considérant la suite r1, r2, r3, …, et toujours si α est rationnel, il faudra tôt ou tard effectivement tomber sur un rn entier.  D’autre part, si α est irrationnel, le processus est infini, et tous les rn seront eux aussi irrationnels.  On peut cependant montrer que lorsque

la fraction continuetend vers α [2].

Le plus merveilleux est que cette représentation des nombres réels en fractions continues est unique, en s’assurant, dans le cas des fractions continues finies, que

Cela nous assure que la fraction continue qui représente, par exemple, 17/13, est bien unique, telle que

et qu’on ne puisse pas écrire

Quelle est la fraction continue représentant le nombre rationnel Notons d’abord que On trouve a0 = 1, et puis r1 = 157/68.  Cela fait Le plus grand entier inférieur à r1 est 2 puisque On a donc a1 = 2, ce qui fait On a r3.  C’est 68/21.  On trouve ensuite, puisqueque le plus grand entier inférieur à r3 est 3 (égal à a2).  Ce qui fait On a r4.  C’est 21/5.  Et comme On trouve que a3 = 4.  On soustrait 4 à r4.  On obtient finalement Et là on arrête ! En effet, r5 = a4 = 4, un entier !  La fraction continue simple finie est donc

Quelle fraction continue représente le nombre π ?  On sait que

On trouve donc a0 = 3.  On obtient r1Puis, sachant queon trouve que le plus grand entier inférieur à r1 est 7. Avec a1 = 7, on obtient alors r2.

Et commeon trouve
et ainsi de suite…

La fraction continue qui représente π est donc

La représentation des réels par des fractions continues n’a pas un intérêt pratique, mais plutôt théorique.  Par exemple, elles mettent en évidence certaines propriétés des nombres, notamment le fait qu’un nombre soit rationnel (finie) ou irrationnel (infinie).  Les fraction continues représentent aussi les meilleures approximations rationnelles de nombres irrationnels.

[1]  et [2] Voir Continued Fractions d’A Ya. Khinchin.   Sans rentrer dans trop de détails, voici comment on procède.  Comme chaque fraction continue finie est le résultat d’un nombre fini d’opérations rationnelles sur ses éléments, la fraction continue est considérée comme une fonction rationnelle de ses éléments.  Elle peut être représentée par le quotient de deux polynômes, disons

et

ce qui fait

Dans le cas qui nous intéresse, comme a0,a 1, …, an sont des entiers strictement positifs, la fraction continue est représentée par une simple fraction p/q.  Les éléments p/q de la suite

sont appelés réduites de la fraction continue.  C’est en faisant tendre n à l’infini et en travaillant avec les réduites de la fraction continue (et non, techniquement, la fraction continue infinie en tant que telle) que l’on observe que la suite converge vers l’irrationnel α.