Dans le dernier billet, je mentionnais sans démonstration que dans un triangle, la bissectrice d’un angle divise toujours le côté opposé dans le même rapport que les côtés de l’angle.  Considérons le triangle ABC suivant, avec la bissectrice de l’angle A qui coupe BC en D.  Il suffit de tracer l’unique parallèle à AD passant par B.  Prolongeons AC de telle sorte qu’elle coupe la parallèle en E.

Les angles ADC et EBC sont des angles correspondants isométriques formés par des parallèles (sécante BC).  Les triangles EBC est ADC partagent tous les deux l’angle DCA.  Les triangles sont donc semblables par le cas de similitude AA.  On tire la proportion suivante

que l’on peut réécrire de telle façon

et donc

ce qui fait

Et enfin en soustrayant 1 de chaque côté de l’égalité on obtient

Les angles BAD et DAC sont isométriques puisque AD est la bissectrice. Les angles BAD et ABE sont isométriques puisque ce sont des angles alternes-internes formés par des parallèles (la sécante étant AB).  Enfin, les angles AEB et DAC sont isométriques puisque ce sont des angles correspondants formés par des parallèles (la sécante ici étant AE).  Par transitivité, on trouve que les angles DAC, BAD, ABE et AEB sont tous isométriques.

 

Cela implique que le triangle EAB est un triangle isocèle.  Et comme dans un triangle isocèle les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques, on a

La proportion

devient

ou de façon équivalente

ce que l’on cherchait à démontrer !

La preuve tient aussi de façon presque intégrale lorsqu’on considère la bissectrice de l’angle extérieur, bien que le résultat peut paraître surprenant, de prime abord.  En reprenant le triangle ABC et en considérant la bissectrice extérieure à l’angle A on a

La bissectrice coupe le prolongement du côté BC en D.  On trace la parallèle à la bissectrice passant par B et coupant AC en E.  Les angles CEB et CAD sont isométriques puisque ce sont des angles correspondants formés par des parallèles (la sécante est AE). Les triangles CAD et CEB sont semblables par le cas AA puisqu’ils partagent aussi l’angle BCE.  On tire donc la proportion suivante

que l’on peut réécrire comme

puis

ce qui fait

Puisqu’il s’agit de la bissectrice AD, les angles DAF et DAB sont isométriques.  Les angles DAB et ABE sont aussi isométriques puisque ce sont des angles alternes-internes formés par des parallèles (la sécante est AB).  Les angles DAF et AEB sont aussi isométriques puisque ce sont des angles correspondants formés par des parallèles (la sécante est AE).  Par transitivité les angles DAF, DAB, ABE et AEB sont isométriques.  Le triangle ABE est donc un triangle isocèle.

Dans un triangle isocèle les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques et alors on a

La proportion

devient

ou de façon équivalente

ce que l’on cherchait à démontrer !