Triplets pythagoriciens à volonté…

Voici une méthode astucieuse pour produire des triplets pythagoriciens, c’est-à-dire des triplets de nombres entiers non-nuls qui satisfont la relation de Pythagore : \[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]On choisit deux nombres entiers strictement positifs.  On appelle le plus grand de ces deux nombres \(x\) et l’autre, le plus petit, \(y\)  .  On calcule \[a = 2xy, \ \  b=x^{2}-y^{2} \ \  \text{et} \ \ c = x^{2}+y^{2}\]On obtient ainsi un triplet de nombres entiers qui satisfont la relation de Pythagore.  En effet, on observe que \begin{align*}a^{2}+b^{2} &= (2xy)^{2}+\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2} \\ \\ &=4x^{2}y^{2}+x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4} \\ \\ &=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4} \\ \\ &=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \\ \\ &=c^{2}\end{align*}

Voilà !

x^4+2x^2y^2+y^4

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