Voici une méthode astucieuse pour produire des triplets pythagoriciens, c’est-à-dire des triplets de nombres entiers non-nuls qui satisfont la relation de Pythagore :

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On choisit deux nombres entiers strictement positifs.  On appelle le plus grand de ces deux nombres x et l’autre, le plus petit, y.  On calcule

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On obtient ainsi un triplet de nombres entiers qui satisfont la relation de Pythagore.  En effet, on observe que

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est égal à

2009_12_10_04

En développant on obtient

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ce qui est égal, après simplifications, à

2009_12_10_06

Cette expression est effectivement le développement de notre troisième nombre (l’hypoténuse) élevé au carré.  En effet, on trouve que

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est égal à

2009_12_10_08

qui, en développant, est égal à

2009_12_10_09

On a donc

2009_12_10_10

Voilà !

x^4+2x^2y^2+y^4