Examinons d’abord cette proposition : le lieu de points du centre C d’un cercle C2 (variable) tangent à un grand cercle C1 (fixe) et passant par un point A, à l’intérieur de C1, est une ellipse.  Soit O le centre de C1.  On peut construire le cercle tangent C2 de cette façon :

  1. tracer la droite OB, avec B sur C1.
  2. tracer le segment AB.
  3. tracer la médiatrice de AB, elle coupe OB en C :  c’est le centre recherché.
  4. tracer C2, de centre C et de rayon CA.

On obtient

En posant

On trouve

Or BO est le rayon du grand cercle C1 (fixe).  C’est donc une constante.  Le point C est donc, par définition, sur une ellipse dont les foyers sont les points A et O.

Cette propriété nous permet de réaliser la construction suivante.  Sur un morceau de papier circulaire, identifier un point A autre que le centre.  Pliez ensuite le morceau de papier de telle sorte qu’un point sur sa circonférence vienne coïncider avec le point A.  Dépliez et répétez avec différents points, tous issus de la circonférence.  Tous ces pliages envelopperont une ellipse.  Considérez le point B sur la circonférence.  La seule façon de ramener B sur A, deux points issus de la circonférence, est de plier selon le diamètre de C2.  La pliure passe donc par C.  Qui plus est, la pliure est tangente à l’ellipse.  Si la pliure n’était pas tangente, alors elle couperait l’ellipse en un deuxième point, par exemple C’.  Il faudrait alors que C’ soit le centre d’un deuxième cercle tangent en B à C1 et passant par A, une impossibilité !

Par ailleurs, les triangles BCD et ACD sont isométriques (cas CCC).   Puisque dans les triangles isométriques les angles homologues sont isométriques, on trouveOr les angles α et β sont isométriques puisqu’ils sont opposés par le sommet.  On a donc

C’est une propriété intéressante de l’ellipse.  Les segments qui joignent les foyers à un point sur l’ellipse rencontrent la tangente en ce point avec le même angle.  Un rayon lumineux qui passe par un foyer et qui est réfléchi sur l’ellipse passera aussi obligatoirement par l’autre foyer.

Référence : C. Stanley Ogilvy (1990), Excursions in Geometry