Archimède a été le premier mathématicien à donner une estimation relativement précise de la valeur de π, le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.  En coinçant le cercle entre des polygones réguliers inscrits et circonscrits à 12, 24, 48 et finalement 96 côtés, et en utilisant les périmètres de ces polygones, il a réussit à coincer la valeur de π entre

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ce qui confère à son estimation deux décimales de précision, remarquable pour l’époque !  Chaque itération de cette méthode amène une nouvelle racine carrée, si bien que l’estimation de π d’Archimède mène à l’expression suivante,  très belle mais très peu pratique :

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Autant de racines à calculer à la main est un vrai cauchemar.  Et pendant des centaines d’années, aucune amélioration notable de la méthode n’a été trouvée et aucune autre méthode efficace inventée.  La méthode d’Archimède, longue et fastidieuse, manipulée par des esprits pour le moins patients, donne cependant lentement de meilleurs résultats au prix de calculs (à la main) d’une longueur sans mesure !  François Viète (1540-1603), en 1579, portant le nombre de côtés du polygone régulier à

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soit un faramineux 393 216 côtés, trouve une précision de neuf décimales !  L’approximation de Viète comporte, dans son calcul, dix-sept racines carrées emboîtées.  Terrible !  Mais cette méthode à la dure atteint son paroxysme avec les efforts (ridicules) de Ludolph van Ceulen qui y consacre la plus grande partie de sa vie.  Travail de moine pour le moins colossal : l’expression de van Ceulen comporte 5 douzaines de racines carrées emboîtées.  Il évalue chacune de ces racines à 35 décimales… à la main !   Son approximation de π, bonne pour 35 décimales de précision utilisait un polygone régulier comportant 262 côtés ! Un nombre astronomique à 19 chiffres : 4611686018427387904.

Entre en scène le grand Leonhard Euler.

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On connaissait depuis James Gregory la série infinie de la fonction arctangente2009_12_16_18En posant2009_12_16_19on obtient

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Un série d’additions et de soustractions de fractions alternées… sans racine ! Malheureusement, cette série converge très lentement.  Si lentement que pour avoir la même précision qu’Archimède, il nous faudrait faire la somme de plus de 120 termes et pour obtenir la précision de Viète, plus d’un milliard de termes !  Cette série est donc complètement inutile pour le calcul de π.  Euler remarque que cette série converge beaucoup plus rapidement pour des valeurs de x proche de zéro (les exposants de x augmentant de 2 à chaque terme).  On considère l’identité trigonométrique suivante :

2009_12_16_21On peut réécrire cette identité comme

2009_12_16_22Euler pose alors

2009_12_16_23afin d’obtenir

2009_12_16_01ce qu’on peut réécrire plus simplement comme

2009_12_16_02Euler commence par poser

2009_12_16_24En remplaçant dans l’équation précédente, il trouve

2009_12_16_03ce qui donne

2009_12_16_04Euler ne s’arrêta pas là.  Les nombres

2009_12_16_25étant trop grands à son goût, il pose

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Il obtient donc

2009_12_16_05ce qui fait

2009_12_16_06Il remplace par la suite dans l’équation précédente pour obtenir

2009_12_16_08ce qui fait

2009_12_16_09Mais ce n’est pas encore assez pour le grand Euler. Il s’attaque maintenant au

2009_12_16_27Il pose

2009_12_16_35et obtient

2009_12_16_10En substituant dans la dernière équation, il obtient

2009_12_16_11et donc plus simplement

2009_12_16_12Dans une dernière itération, Euler pose

2006_12_16_38Il obtient alors

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En remplaçant une dernière fois dans l’équation précédente, il obtient

2009_12_16_30et donc

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Aussi surprenant que cela puisse paraître, l’équation ci-dessus est bien une équation, et non pas une approximation !  Les nombres 1/7 et 3/79 sont suffisamment petits pour que la convergence soit rapide.  En calculant les 6 premiers termes de chaque série, on obtient

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ce qui fait

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Une approximation bonne pour 10 décimales, soit une de plus que Viète qui avait, je le rappelle, calculé dix-sept racines carrées emboîtées pour obtenir les siennes.

Euler a dit :

J’ai utilisé cette méthode pour calculer vingt décimales de précision à π et ces calculs m’ont demandé environ une heure de travail.

On ne peut qu’avoir une petite pensée pour le pauvre Ludolph van Ceulen !

Référence : William Dunham (2004), The Calculus Gallery