Existe-t-il des nombres du type

dans lesquels a et b sont des nombres irrationnels qui soient rationnels ?  On peut montrer que ces nombres existent sans toutefois en trouver un en exemple.  Et la démarche est très simple.  Considérons le nombre

Il s’agit bien d’un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle.  Est-il rationnel ou non ?

S’il l’est, alors la recherche est terminée.  S’il ne l’est pas, alors le nombre

c’est-à-dire lui aussi un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle, est égal à

un nombre non seulement rationnel mais en plus entier !

En réalité, il a été prouvé que le nombre

est non seulement irrationnel mais en plus transcendant.  Il est donc particulièrement curieux de représenter le nombre entier, 2, à l’aide d’un nombre transcendant élevé à une puissance irrationnelle.

Référence : C. Stanley Ogilvy et John T. Anderson (1988), Excursions in number theory