La preuve de la formule quadratique n’est jamais facile à faire ni à comprendre pour les élèves de quatrième secondaire. Elle tombe d’ailleurs généralement assez rapidement dans l’oubli (la preuve, pas la formule).  J’ai donné plus tôt ces deux démonstrations.  Dans la première, classique, on met a en évidence et on complète le carré.  Dans la deuxième, on utilise un changement de variable pour faire disparaître le terme du premier degré. En voici une troisième particulièrement élégante.  On complète ici aussi le carré.

On a

Afin d’obtenir un carré parfait, on voudrait que le premier terme soit un carré.  x est déjà au carré alors on multipliera chaque terme par a afin d’obtenir

On voudrait ensuite que le coefficient du deuxième terme soit pair pour ne pas s’empêtrer inutilement de fractions.  On pourrait donc multiplier chaque terme par 2.  Sauf qu’en multipliant par 2, le premier terme ne serait plus un carré.  On décide donc de multiplier chaque terme par le plus petit carré pair, c’est-à-dire par 4.  On obtient

Si l’expression de gauche est un carré, alors le premier terme est un carré de côté 2ax tel que représenté dans l’illustration suivante

Les deux rectangles isométriques forment le deuxième terme.  Ces rectangles ont donc une aire de 2abx.  Or, comme ils ont déjà une longueur de 2ab, leur largeur sera de b.

ce qui nous laisse avec un dernier carré d’aire b2.

Or, dans

le dernier terme n’est pas b2.  Le dernier terme est plutôt 4ac.  Nous retrancherons donc 4ac de chaque côté et nous ajouterons b2 de chaque côté (afin d’avoir un trinôme carré parfait à gauche).  On obtient

puis

Le membre de gauche se factorise (c’est le carré)

Et là on obtient, en extrayant la racine carrée de chaque côté (attention aux signes)

puis en soustrayant b de chaque côté

et puis en divisant par 2a de chaque côté

La formule quadratique, pas de chichi.