Si on place un capital initial C0 à un taux d’intérêt annuel i composé n fois par année, alors après avoir composé t fois l’intérêt, on aura accumulé un (fameux) montant de

C’est la formule bien connue de l’intérêt composé.  Par exemple, si on place 5000 dollars pendant 10 ans à un taux d’intérêt annuel de 2% (donc i = 0,02) composé chaque mois (donc n = 12), on obtient au bout des 10 ans (c’est-à-dire après avoir composé les intérêts 12×10 fois)

C’est environ 1106 dollars de plus, une augmentation de près de 22% par rapport au capital initialement investi !  Pas mal !  Vous me direz : “Placez 5000$ en 2010 pendant 10 ans à ton âge, c’est de la science-fiction !”

En effet, la (ma ?) tendance actuelle est plutôt à l’emprunt de capital !  Et lorsqu’on emprunte, on doit éventuellement rembourser.  Supposons que l’on rembourse, à chaque fois que l’on compose les intérêts (chaque trimestre ? mois ? semaine ?), un certain montant P.  Et considérons la fonction f qui exprime notre capital dû.

Au départ on a tout simplement

Après un premier calcul des intérêts, (1 + i/n), on rembourse un montant P.

Au deuxième versement, c’est

En distribuant le facteur (1 + i/n) on obtient

Au troisième,

et encore une fois en distribuant,

Au quatrième calcul des intérêts,

et en distribuant,

Une tendance se dégage.  Il apparait de plus en plus clair qu’au tième calcul des intérêts, on aura

Une mise en évidence simple de –P nous donne

L’expression dans la grande parenthèse est une série géométrique finie de premier terme 1 et de raison (1 + i/n).  Nous pouvons exprimer sa somme de façon plus concise.  On obtient

Enfin, une petite simplification nous donne

puis

Voilà donc l’expression recherchée.  Maintenant, comment calculer la valeur de P afin qu’à terme, on ait remboursé la totalité de notre emprunt.  Posons

On a alors

On soustrait de chaque côté de l’égalité

puis on divise

En multipliant par -1 en haut et en bas, on obtient l’expression légèrement plus élégante suivante

Cette dernière formule nous donne la valeur de P en fonction de C0, i, n, et t.  Supposons que l’on emprunte 280 000 dollars sur une période de 30 ans à un taux annuel de 2,5%, composé chaque mois, le remboursement mensuel s’élèvera à

Et l’expression

ou, de manière équivalente,thedudeminds_2015040702

nous permet alors de représenter graphiquement la situation (le montant dû en fonction du temps)

La formule de l’intérêt composé est aussi une occasion de découvrir une constante mathématique bien connue.

On décide de placer notre capital pour une durée de s année.  Au bout de ces s années, avec des intérêts composés n fois par année, on aura effectué n·s calculs d’intérêt (t = ns).  Supposons que l’on place 5000$ pendant 10 ans à un taux d’intérêt annuel de 2%, composé une seule fois par année.  Après 10 ans on obtient

Si les intérêts sont calculés chaque trimestre (n = 4), on obtient

c’est-à-dire environ 9 dollars de plus (par rapport à n = 1).  En calculant les intérêts chaque mois, on obtient

résultat déjà calculé ci-haut.  C’est un peu plus de 2 dollars de plus que pour des intérêts calculés chaque trimestre.  On peut conjecturer que plus l’intérêt est calculé un grand nombre de fois par année, plus le montant accumulé sera grand sur cette période.  Cependant, l’impact  semble devenir de plus en plus minime.  Si les intérêts sont calculés chaque jour, on obtient

c’est-à-dire une augmentation de seulement 98 cents sur une période de 10 ans (par rapport à des intérêts composés chaque mois).  Des intérêts composés chaque seconde ?  Pourquoi pas !

Avec les montants en jeu, on gagne… 4 cents !  Sur 10 ans !  Dix ans pendant lesquels chaque année on calcule les intérêts plus de 31 millions de fois.  Le phénomène semble se rapprocher d’une limite.  Qu’arrive-t-il alors à cette expression

lorsqu’on fait tendre n à l’infini ?  En faisant tendre n à l’infini, on considère des intérêts composés de façon continue.  Afin de rendre les choses claires et élégantes, on introduit une nouvelle variable u telle que

Si

alors il est clair que

lui aussi.  Cela implique également que

et

On peut donc réécrire

lorsque

comme

lorsque

En transformant le produit à l’exposant en exponentiation on obtient

Et comme

on a

La base naturelle e fait son apparition !  On obtient donc plus simplement

pour calculer les intérêts composés de façon continue.