On considère la série géométrique (finie) suivante, de premier terme a et de raison r, dont la somme (c’est une série finie) est S

Le truc bien connu pour exprimer S de façon plus concise est le suivant.  On multiplie d’abord chaque côté de l’équation par r

On soustrait la deuxième équation de la première.  Tous les termes s’annulent sauf deux.

Une mise en évidence de S à gauche et a à droite nous donne

En divisant par (1 – r) de chaque côté on obtient l’expression de la somme recherchée

 

Qu’en est-il d’une série géométrique infinie ?  La série converge vers une valeur S si et seulement si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1.

On peut obtenir cette valeur en faisant tendre n vers l’infini

Or, comme

on a

lorsque

ce qui fait

Cette dernière expression nous permet de trouver les sommes de séries géométriques infinies telles que

ou

cette dernière étant une série géométrique infinie alternée.

 

Puisque tout ce qui précède est bien connu, voici comment Jakob Bernoulli, dans son Tractatus de seriebus infinitis earumque summa finita, écrit en 1689, somme les séries géométriques.  Il définit d’abord une série géométrique comme une somme de termes positifs

dans laquelle

Il énonce ensuite ceci : “Dans une progression géométrique A, B, C, … , D, E, le premier terme est au deuxième ce que la somme de tous les termes sauf le dernier est à la somme de tous les termes sauf le premier.

Afin de bien comprendre cet énoncé, posons (conformément à notre notation habituelle)

ce qui implique que

ou

L’énoncé peut maintenant être vérifié facilement puisque

On multiplie ensuite le numérateur et le dénominateur

En distribuant dans les parenthèses on obtient

ce qui fait

c’est-à-dire que “dans une progression géométrique A, B, C, … , D, E, le premier terme est au deuxième ce que la somme de tous les termes sauf le dernier est à la somme de tous les termes sauf le premier.

 

En considérant la somme S de la série géométrique, Jakob remarque que

et

Il remplace donc dans l’expression précédente et obtient

qu’il s’applique ensuite à résoudre pour S

Puis en distribuant de chaque côté

Regroupant ensuite les termes en S à gauche

et après la mise en évidence

il obtient le résultat recherché

Cette expression concise de la somme de la série géométrique utilise la premier terme A, le deuxième B et le dernier E, contrairement à la forme moderne qui utilise le premier terme a et la raison r.  Jakob observe par la suite que si le rapport des termes successifs est plus petit que 1, le dernier terme doit s’approcher de 0.  Pour une série géométrique infinie, il pose donc son “dernier” terme, E, égal à 0.

Et il obtient comme somme d’une série géométrique infinie de premier terme A et de deuxième terme B