La forme canonique de la fonction exponentielle est

c est la base de la fonction de la fonction exponentielle (strictement positive et différente de 1).  On utilise les lettres usuelles a, b, h, k pour désigner les paramètres multiplicatifs et additifs des variables dépendantes et indépendantes.  Comme avec bien d’autres fonctions, il s’avère que certains paramètres sont superflus.  En transformant le produit à l’exposant en exponentiation, on obtient

Il nous est donc possible de choisir une nouvelle base, c1, telle que

Notre fonction initiale devient alors

En transformant la somme à l’exposant en produit de deux puissances de même base on obtient

que je réécris comme

Il nous est maintenant possible de choisir un nouveau paramètre a, appelons-le a1, tel que

Notre fonction devient alors

que j’appellerai la forme canonique réduite de la fonction exponentielle.  Il est donc toujours possible de poser b = 1 et h = 0 dans le cas d’une fonction exponentielle en jouant avec le paramètre a et la base.

Qu’en est-il de la fonction logarithmique, la réciproque de la fonction exponentielle ?  La forme canonique de la fonction logarithmique est

où, encore une fois, c est la base de la fonction logarithmique (strictement positive et différente de 1).

Cette fonction possèdent-elles des paramètres superflus ?  Avec l’exponentielle, nous avions d’abord effectué un changement de base.  On change donc la base de la fonction logarithmique pour la nouvelle base c1.  La loi du changement de base avec les logarithmes nous donne


que je réécris comme

En posant le coefficient égal à 1

et en isolant le logarithme, on obtient

En transformant sous la forme exponentielle on obtient

Et en isolant c1 on obtient

c’est-à-dire

si a est positif et

si a est négatif.

En choisissant la bonne base, il est donc toujours possible de rendre le paramètre a = 1.  En effet, en choisissant c1 de telle manière, notre fonction initiale devient

Notons ensuite que par définition de logarithme, on a

(et, au passage, pas de problème si k est négatif).

En remplaçant dans

on obtient

En exprimant la somme des deux logarithmes avec le logarithme du produit on obtient

En choisissant un nouveau paramètre b, appelons-le b1, tel que

notre fonction initiale devient

que j’appelle la forme canonique réduite de la fonction logarithmique.