La forme canonique de la fonction exponentielle est \[g(x) = a\cdot c^{b(x-h)}+k\]où \(c\) est la base de la fonction de la fonction exponentielle (strictement positive et différente de \(1\)). On utilise les lettres usuelles \(a\), \(b\), \(h\), \(k\) pour désigner les paramètres multiplicatifs et additifs des variables dépendantes et indépendantes. Comme avec bien d’autres fonctions, il s’avère que certains paramètres sont superflus. En transformant le produit à l’exposant en exponentiation, on obtient \[g(x) = a\cdot \left(c^{b}\right)^{(x-h)}+k\]Il nous est donc possible de choisir une nouvelle base, \(c_{1}\), telle que \[c_{1} = c^{b}\]Notre fonction initiale devient alors \[g(x) = a\cdot \left(c_{1}\right)^{(x-h)}+k\]En transformant la somme à l’exposant en produit de deux puissances de même base on obtient \[g(x) = a\cdot \left(c_{1}\right)^{x}\cdot \left(c_{1}\right)^{-h}+k\]que je réécris comme \[g(x) = a\cdot \left(c_{1}\right)^{-h}\cdot \left(c_{1}\right)^{x}+k\]Il nous est maintenant possible de choisir un nouveau paramètre \(a\), appelons-le \(a_{1}\), tel que \[a_{1}=a\cdot\left(c_{1}\right)^{-h}\]Notre fonction devient alors \[g(x)=a_{1}\cdot\left(c_{1}\right)^{x}+k\]que j’appellerai la forme canonique réduite de la fonction exponentielle. Il est donc toujours possible de poser \(b=1\) et \(h=0\) dans le cas d’une fonction exponentielle en jouant avec le paramètre \(a\) et la base \(c\).
Qu’en est-il de la fonction logarithmique, la réciproque de la fonction exponentielle ? La forme canonique de la fonction logarithmique est \[f(x) = a\log_{c}\left(b(x-h)\right)+k\]où, encore une fois, \(c\) est la base de la fonction logarithmique (strictement positive et différente de \(1\)).
Cette fonction possèdent-elles des paramètres superflus ? Avec l’exponentielle, nous avions d’abord effectué un changement de base. Est-il possible d’emprunter une démarche semblable ? On change la base de la fonction logarithmique pour la nouvelle base \(c_{1}\). La loi du changement de base avec les logarithmes nous donne \[f(x) = a\left(\frac{\log_{c_{1}}\left(b(x-h)\right)}{\log_{c_{1}}(c)}\right) + k\]que je réécris comme \[f(x) = \frac{a}{\log_{c_{1}}(c)} \cdot \log_{c_{1}}\left(b(x-h)\right) + k\]En posant le coefficient égal à \(1\), \[\frac{a}{\log_{c_{1}}(c)}=1\]et en isolant le logarithme, on obtient \[a = \log_{c_{1}}(c)\]En transformant sous la forme exponentielle on obtient \[\left(c_{1}\right)^{a} =c\]Et en isolant \(c_{1}\) on obtient \[c_{1} = c^{\frac{1}{a}}\]c’est-à-dire \[c_{1} = \sqrt[a]{c}\]si \(a\) est positif et \[c_{1} = \sqrt[-a]{\frac{1}{c}}\]si \(a\) est négatif.
En choisissant la bonne base, il est donc toujours possible de rendre le paramètre \(a=1\). En effet, en choisissant \(c_{1}\) de telle manière, notre fonction initiale devient \[f(x) = \log_{c_{1}}\left(b(x-h)\right)+k\]Notons ensuite que par définition de logarithme, on a \[k = \log_{c_{1}}\left(\left(c_{1}\right)^{k}\right)\](et, au passage, pas de problème si \(k\) est négatif).
En remplaçant dans \[f(x) = \log_{c_{1}}\left(b(x-h)\right)+k\]on obtient \[f(x) = \log_{c_{1}}\left(b(x-h)\right) + \log_{c_{1}}\left(\left(c_{1}\right)^{k}\right)\]En exprimant la somme des deux logarithmes avec le logarithme du produit on obtient \[f(x) = \log_{c_{1}}\left(b\cdot \left(c_{1}\right)^{k}\cdot (x-h)\right)\]En choisissant un nouveau paramètre \(b\), appelons-le \(b_{1}\), tel que \[b_{1}= b\cdot \left(c_{1}\right)^{k}\]notre fonction initiale devient \[f(x) = \log_{c_{1}}\left(b_{1}(x-h)\right)\]que j’appelle la forme canonique réduite de la fonction logarithmique.