En quatrième secondaire on travaille avec les élèves les conditions minimales de similitude des triangles.  Une attention particulière est portée aux relations métriques dans les triangles rectangles dans lesquels on a tracé la hauteur issue de l’angle droit (ou la hauteur relative à l’hypoténuse).  Voici un petit résultat qui fait changement des exercices du manuel.  Les élèves apprécient.

Considérez le triangle rectangle ABC ci-dessous (rectangle en C)

On trace la hauteur issue de l’angle droit.  Elle coupe AB de façon perpendiculaire en D.  Le “petit” triangle ACD et le “grand” triangle ABC sont tous les deux rectangles et partagent tous les deux l’angle A.  Il sont donc semblables par le cas de similitude AA.


Les côtés homologues des triangles semblables sont dans le même rapport.  Considérons les “petites” cathètes et les hypoténuses des deux triangles.  On obtient la proportion suivante

de laquelle on tire

Le “moyen” triangle CBD et le “grand” triangle ABC sont tous les deux rectangles et partagent tous les deux l’angle B.  Il sont donc semblables par le cas de similitude AA.

En considérant les “grandes” cathètes et les hypoténuses des deux triangles, on obtient la proportion suivante

de laquelle on tire

En additionnant les deux résultats précédents on obtient

et en effectuant la mise en évidence simple à droite

Les segments AD et BD forment justement le segment AB, l’hypoténuse du grand triangle rectangle.  On a donc en substituant

ou tout simplement

… la relation de Pythagore !