Voici une autre démonstration de la formule de Héron, moins élégante que la première mais plus pratique.  Il existe d’autres preuves plus courtes qui ont recours à la loi des cosinus et à des identités trigonométriques.  La preuve qui suit à l’avantage de garder les choses simples, la relation de Pythagore et la factorisation d’un trinôme carré parfait et d’une différence de carrés étant les seuls prérequis.

La formule de Héron nous permet calculer l’aire d’un triangle en ne connaissant que la mesure de ses côtés.

Considérons un triangle quelconque ABC.  On trace la hauteur AD.  Elle tombe perpendiculairement sur CD.  Appelons x la mesure du segment CD et a – x celle du segment BD. (1)

On peut d’abord trouver l’aire A du triangle

On élève chaque côté au carré

et on réserve pour une utilisation ultérieure.  Nous allons ensuite trouver une expression correspondant au carré de la hauteur et la remplacer dans l’équation ci-dessus.  Les triangles ADC et ADB étant rectangles, on trouve, avec la relation de Pythagore, dans le triangle ADC,

et en isolant h2

et puis dans le triangle ADB,

et toujours en isolant h2

En développant le carré dans l’expression précédente on obtient

ou

Il nous est maintenant possible de comparer les deux expressions précédentes pour h2

On additionne d’abord x2 de chaque côté afin d’obtenir

Il nous est maintenant possible d’isoler x

puis

En reprenant l’équation

et en remplaçant x par l’expression que l’on vient de trouver, on obtient

L’expression de droite est une différence de carrés.  En factorisant on obtient

En mettant sur dénominateur commun dans les deux parenthèses on obtient

On effectue ensuite la mise en évidence de (-1) dans la deuxième parenthèse.  On obtient alors

Les trois premiers termes au numérateur dans les deux parenthèses sont des trinômes carrés parfaits.  En factorisant on obtient

Et on se retrouve à nouveau avec des différences de carrés.  En factorisant ces deux différences de carrés on obtient

ce qui donne en multipliant

On distribue ensuite commodément le (-1) sur le dernier facteur

La formule de Héron exprimant l’aire avec le demi-périmètre s, nous allons maintenant introduire cette quantité

En multipliant par 2 on obtient

puis successivement, en soustrayant d’abord 2a, puis 2b puis 2c

En reprenant

on substitue habilement

On effectue ensuite des mises en évidence

ce qui donne d’abord en multipliant

puis en simplifiant et en réarrangeant les facteurs

On a maintenant une expression satisfaisante du carré de la hauteur.  On remplace donc dans

afin d’obtenir

Il est possible de simplifier les a2

puis les 4 au numérateur et dénominateur

Il suffit finalement d’extraire la racine carrée (positive, puisqu’il s’agit de l’aire) afin d’obtenir l’expression recherchée

 

 

(1) La démarche fonctionne aussi lorsque la hauteur tombe sur le prolongement de BC et non sur BC même (donc à l’extérieur du triangle).  Le segment BD devient a + x.