On connait beaucoup de choses sur les médianes, les hauteurs, les médiatrices ou les bissectrices d’un triangle.  Le  théorème  de Stewart  concerne les segments internes du triangles joignant un sommet à son côté opposé d’une manière quelconque .  Considérons le triangle suivant :

2009_11_23_01Remarquons que

2009_11_23_02

et donc que

2009_11_23_03

Avec la loi des cosinus, dans le triangle ADC, on trouve

2009_11_23_04

En isolant le cosinus, on obtient

2009_11_23_05

Avec la loi des cosinus, mais cette fois-ci dans le triangle CDB, on obtient

2009_11_23_06

En isolant le cosinus, on obtient

2009_11_23_07

Ce qui implique en vertu de (1) que

2009_11_23_08

Et donc que

2009_11_23_09

En égalant les deux expressions, on obtient

2009_11_23_10

Puis en mettant sur dénominateur commun

2009_11_23_11

ce qui fait

2009_11_23_12ou de manière équivalente

2009_11_23_13

En effectuant une mise en évidence double, on obtient

2009_11_23_14

puis

2009_11_23_15

Et comme

2009_11_23_16

on obtient finalement

2009_11_23_17

Voilà ! Le théorème de Stewart.

Référence :  Posamentier, Alfred S., Salkind, Charles T.Challenging Problems In Geometry