Les quatre points A, B, C et D suivants appartiennent aux quatre côtés d’un carré.  Il faut reconstruire le carré à la règle et au compas.

 

Cela semble beaucoup plus facile que ça l’est en réalité.  Avant de continuer, je vous encourage à essayer par vous-même.

 

Examinons premièrement deux de ces points, par exemple les points A et B.  Un peu de géométrie élémentaire nous permet de déduire que le sommet K du carré est forcément sur le cercle de diamètre AB (de centre E, tel qu’illustré ci-dessous).

Il faut donc trouver K sur ce cercle.  Approfondissant notre exploration, on trace la perpendiculaire à AB passant par E.  Cette perpendiculaire coupe le cercle en G (de l’autre côté de AB que K).  Traçons GK.

L’angle au centre BEG et l’angle inscrit BKG interceptent le même arc BG.  La mesure de l’angle au centre BEG étant 90°, on en déduit que la mesure de l’angle inscrit BKG est de 45°.  La même remarque s’applique aux angles au centre AEG et inscrit AKG.  K est le sommet recherché et la droite GK est la bissectrice de l’angle droit AKB.  La droite GK supporte donc la diagonale du carré.

Il ne reste qu’à appliquer ces considérations à notre figure initiale.

À partir des quatre points initiaux, on trace les cercles de diamètre AB et de centre E et de diamètre CD et de centre F.

On trace ensuite les perpendiculaires à AB par E et à CD par F.  Ces perpendiculaires coupent les cercles respectivement en H et G et en I et J (tel qu’illustré ci-dessous).

On choisit ensuite deux de ces points de telle sorte que la droite qui passe par ces points coupe les cercles à deux autres endroits.  Dans notre exemple, on choisit les points G et I puisque la droite GI coupe les deux cercles à deux autres endroits, respectivement en K et L.  Nous avons vu que la droite GK supportait une diagonale du carré et, dans l’autre cercle, la droite IL supportait aussi une diagonale du carré.  L’astuce est ici de faire coïncider ces deux diagonales qui ne sont en effet qu’une seule : la droite KL supporte une des deux diagonales du carré… et K et L sont deux sommets opposés du carré.

 

 

On trouve ensuite les deux autres sommets en traçant l’autre diagonale.

Voilà !

 

Ce qu’il y a de formidable, avec cette méthode, c’est que si l’on accepte que les points puissent se trouver sur les côtés ou sur les prolongement des côtés du carré, alors il devient toujours possible, à partir de quatre points quelconques, de reconstruire un carré.  Même dans les cas les moins intuitifs… Par exemple dans le triangle ABC ci-dessous avec le quatrième point D à l’intérieur du triangle, dont voici une solution possible

puis une autre avec les mêmes points

ou encore avec quatre points colinéaires !

Inspiré par : The Oral Exam