Voici la méthode employée par Girolamo Cardano et son élève, Ludovico Ferrari, avec une notation contemporaine, pour résoudre des équations du troisième degré[1].  En partant de la forme la plus générale

on divise par a de chaque côté afin d’obtenir

On effectue ensuite le changement de variable suivant

ce qui fait

En développant les cube et carré

puis en distribuant

et enfin en regroupant les termes semblables

Comme on a définit x en termes de y et α, il nous est possible de poser

et de trouver la valeur de α qui ferait en sorte que le terme en y2 s’annule.  On obtient donc

En remplaçant α par cette expression, on a

ce qui fait

Cette forme de l’équation cubique est appelée forme réduite de l’équation

avec

On procède par la suite à un deuxième changement de variable

ce qui fait

En développant on obtient

En réarrangeant les termes et en effectuant une mise en évidence simple on obtient

Comme on a exprimé y avec les deux variables u et v, on peut librement les choisir de telle sorte que

Cela a pour effet d’éliminer le terme en (u + v) dans

afin d’obtenirDeon tirepuis en élevant au cubeEnfin, commecette équation

devient

ou de façon équivalente

On connait donc la sommeet le produitde deux nombres.  En isolant v3 dans la dernière équation on obtientpuis en substituant dans l’équation de la somme

En multipliant à gauche et à droite par u3

on obtient une équation du deuxième degré en u3

La formule quadratique nous donne pour valeur de u3

ce qui fait après mise en évidence de 4 sous la racine

et donc

En utilisant la racine carré positive, on obtient

Or comme,

on a

c’est-à-direet donc

Enfin, comme

on a

Ici,  u3 et v3 possèdent chacun 3 racines cubiques.  Cela fait donc un total de 9 combinaisons possibles.  Or, l’équation initiale ne possède que 3 solutions (distinctes ou non).  Il faut donc s’affairer à choisir et pairer correctement les bonnes racines.  Si

alors les racines cubiques seront réelles et bien définies.  On obtient ainsi la solution réelle de l’équation.  Et comme

c’est-à-dire que le produit uv est réel, on multiplie l’une et l’autre des racines précédentes par les racines cubiques complexes de l’unitéet

Si u0 et v0 sont les racines cubiques réelles, alors les solutions complexes seront données par

et

Si au contraire,alors les racines cubiques de u3 et v3 sont complexes.  Comme u et v sont interchangeables, on choisit donc arbitrairement une des racines cubiques de u3 et on sélectionne la bonne racine correspondante de v3 en utilisant le fait que

c’est-à-dire que notamment

Finalement, pour retrouver les solutions de l’équation initiale, il ne faut pas oublier d’effectuer le dernier changement de variable.

Cela conclut la solution algébrique d’une équation du troisième degré.  Bien qu’il soit assez facile de trouver la racine carrée d’un nombre complexe sous la forme a + bi, il est plutôt difficile de faire de même dans le cas d’une racine cubique.  En effet, pour trouver une des racines cubiques d’un nombre complexe sous la forme a + bi, il faudrait résoudre… une équation du troisième degré !  En outre, il faut une bonne dose d’intuition pour reconnaître que

(en utilisant les deux racines cubiques réelles) ou encore que

(en utilisant une des trois paires de racines cubiques complexes).

[1]Les résolutions des équations du troisième et quatrième degré, au niveau auquel elles sont introduites, sont souvent traitées dans les livres comme des problèmes triviaux suscitant peu d’intérêt, mais il reste que les ingénieuses techniques des algébristes italiens du XVIième siècle sont rarement présentées adéquatement.  Le problème est plutôt amené sous la forme d’une anecdote historique.  Pour un court compte rendu habilement écrit, incluant une savoureuse description des personnages colorés en scène, je vous suggère le sixième chapitre de Journey through Genius de  William Dunham.  Par ailleurs, une traduction avec notation récente de l’Ars Magna (Le grand Art) est aussi disponible chez Dover.  Pas facile à lire, mais plutôt divertissant !