Il est assez facile de montrer que si l’on a une fonction quadratique et qu’en observant sa table de valeurs, il y a des bonds constants du côté de la variable indépendante, alors on observera des bonds entre les bonds constants du côté de la variable dépendante.  Et si les bonds constants de la variable indépendante sont de 1, et que la règle de la fonction quadratique est

alors les bonds entre les bonds du côté de la variable dépendante auront une valeur de 2a.  Un de mes collègues avait une question fort pertinente, c’est-à-dire celle-ci :

Réciproquement, si l’on a une fonction dans laquelle, pour des bonds constants de 1 du côté de la variable indépendante, on a des bonds entre les bonds constants d’une valeur de 2a du côté de la variable dépendante, alors montrez qu’il s’agit d’une fonction quadratique.

 

On a

On tire donc ce qui est équivalent à

Le terme général sera donc

En regroupant les Δ1 (il y en aura xp)

puis en effectuant la mise en évidence de 2a, on obtient

La somme entre parenthèses est celle des xp – 1 premiers entiers

En développant le produit au numérateur

et en distribuant le facteur 2a dans la parenthèse, on obtient

 

En réarrangeant les termes, on constate qu’il s’agit bien d’une fonction quadratique

dont le coefficient du terme au carré est bien a !

 

Par exemple, si l’on a

On aura, en prenant a = 3, p = 8, f(p) = 62 et Δ1 = 36,

ce qui fait bien

la règle de la fonction quadratique.