On cherche les valeurs du sinus et du cosinus pour les angles suivants : 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5.
Dans le cercle trigonométrique, ces points correspondent aux sommets d’un pentagone régulier inscrit. Dans le plan complexe, les sommets de ce pentagone inscrit dans le cercle d’équation
correspondent aux solutions de l’équation
c’est-à-dire aux racines cinquièmes de l’unité. L’une de ces racines est évidemment 1. En effectuant la longue division par z – 1, on obtient
Il faut donc résoudre cette équation quartique. Mince affaire ! Heureusement, on peut ici appliquer un petit truc. On divise par z2
et on réarrange les termes
En remarquant que
l’équation précédente devient
une équation du deuxième degré ! Les solutions sont
ce qui fait en multipliant par z de chaque côté
puis en regroupant les termes du même côté
Deux autres équations quadratiques ! Les solutions de la première sont
ou en simplifiant un peu
Comme
on a finalement
duquel on tire
pour la première solution et
pour la deuxième. De la même manière, on trouve les solutions de la deuxième équation
ou en simplifiant un peu
Et comme encore une fois
on obtient
En outre, on tire de ces solutions
et
On aurait pu avoir recours aux formules pour les angles doubles en utilisant au départ les valeurs du sinus et du cosinus de π/5 mais cette avenue ne nous aurait pas donner le loisir de résoudre une équation quartique dans C !
Référence : R. Courant, H. Robbins et I. Stewart (1996), What is mathematics ?
