On cherche les valeurs du sinus et du cosinus pour les angles suivants : 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5.

Dans le cercle trigonométrique, ces points correspondent aux sommets d’un pentagone régulier inscrit.  Dans le plan complexe, les sommets de ce pentagone inscrit dans le cercle d’équation

correspondent aux solutions de l’équation

c’est-à-dire aux racines cinquièmes de l’unité.  L’une de ces racines est évidemment 1.  En effectuant la longue division par z – 1, on obtient

Il faut donc résoudre cette équation quartique.  Mince affaire ! Heureusement, on peut ici appliquer un petit truc.  On divise par z2

et on réarrange les termes

En remarquant que

l’équation précédente devient

une équation du deuxième degré !  Les solutions sont

ce qui fait en multipliant par z de chaque côté

puis en regroupant les termes du même côté

Deux autres équations quadratiques ! Les solutions de la première sont

ou en simplifiant un peu

Commeon a finalement

duquel on tire

pour la première solution et

pour la deuxième.  De la même manière, on trouve les solutions de la deuxième équation

ou en simplifiant un peu

Et comme encore une fois

on obtient

En outre, on tire de ces solutions

et

On aurait pu avoir recours aux formules pour les angles doubles en utilisant au départ les valeurs du sinus et du cosinus de π/5 mais cette avenue ne nous aurait pas donner le loisir de résoudre une équation quartique dans C !

 

Référence : R. Courant, H. Robbins et I. Stewart (1996), What is mathematics ?