On considère un triangle et son cercle inscrit.

 

Le centre du cercle est bien sûr l’intersection des bissectrices.  On retrouve dans cette figure trois paires de triangles rectangles isométriques.  On s’intéresse à un triangle de chaque paire.

 

On utilise aussi le fait que

On choisit en premier lieu un triangle semblable au triangle AEO et dont le rapport de similitude est yz.

On choisit ensuite un triangle semblable au triangle bleu BDO.  La cathète adjacente à l’angle β étant y, on choisit le rapport de similitude comme étant wz

Bien sûr, puisque

un triangle semblable au triangle vert CFO viendra compléter l’angle droit.  Nous n’avons pas pour le moment le rapport de similitude de ce triangle vert.

En complétant le rectangle, on remarque que le petit triangle rectangle dont l’hypoténuse est rwz possède un angle α.  Il est donc semblable au triangle AEO.  Puisque l’hypoténuse de AEO est w, le rapport de similitude est rz.

Comme les côtés opposés d’un rectangle sont isométriques, cela implique que la cathète adjacente à l’angle γ dans le triangle vert est

et que le rapport de similitude recherché est donc r(x + y).  On a

duquel on tire cette jolie égalité

ou

Enfin, en divisant par  de chaque côté, on obtient

c’est-à-dire que pour

on a

 

 

Référence : Roger B. Nelsen (2008), Mathematics Magazine Vol. 81, pp. 58-61