Nous avons déjà vu sur ce blogue une preuve de la formule de la distance d’un point à une droite dans le plan cartésien lorsque l’équation de la droite est donnée sous la forme générale

Mon collègue Dominik m’a partagé cette preuve dans laquelle l’équation de la droite est sous la forme fonctionnelle

La preuve est courte, implique peu de calculs, et est essentiellement géométrique. Elle est plus simple et plus élégante. On considère donc un point P de coordonnées (x0, y0) et une droite D1 dans le plan.

La distance de P à D1 correspond à la mesure du segment AP dans la figure. On place ensuite B et C sur D1 de telle sorte que B ait la même abscisse que P et C ait la même ordonnée que P. En d’autres mots, on forme un triangle BPC rectangle en P et dont les cathètes BP et CP sont parallèles aux axes (respectivement des abscisses et des ordonnées). Le segment AP est une hauteur issue de l’angle droit (ou relative à l’hypoténuse) du triangle rectangle BPC. Une telle hauteur forme des triangles semblables. En particulier, les triangles BPC et PAC sont semblables. Comme C est sur D1 et qu’il possède la même abscisse que P, on trouve que ses coordonnées sontet on trouve aussi que la mesure du segment vertical CP est

On place ensuite D sur BP à une unité de B. On place E sur D1 de manière à former un autre triangle BDE rectangle en D. Comme dans la forme fonctionnelle le coefficient a correspond à la pente de la droite, on trouve immédiatement que DE a pour mesure |a|. Il s’en suit aussi qu’avec Pythagore,(la valeur absolue étant maintenant superflue avec le carré)

Par le cas de similitude AA les triangles BDE et BPC sont semblables. Par transitivité, on trouve aussi que les triangles BDE et PAC sont semblables. Avec la proportion

on trouve en remplaçant

c’est-à-dire avec la notation habituelle