On considère une fonction exponentielle d’équation

et on s’intéresse à la tangente à cette fonction passant par l’origine du plan cartésien.  Supposons que le point de tangence soit

 

Certainement, la pente de la tangente sera donnée d’une part par (c’est une fonction linéaire)

et d’autre part par (c’est la valeur de la dérivée en x0)

On trouve en égalant les deux expressions de la pente

et puisque

on obtient

On trouve comme solution

À l’aide d’un changement de base, on réécrit

C’est l’abscisse du point de tangence.  L’ordonnée est

 

Il est tout à fait remarquable (et apparemment peu connu) que la valeur de l’ordonnée, e, le nombre d’Euler, ne dépend pas du choix de la base de l’exponentielle.  Les coordonnées de P sont toujours

qu’importe la valeur choisie pour c.

Référence : Branko Ćurgus (2006),  The College Mathematics Journal Vol 37, pp. 344-354