Pour une aire donnée, le rectangle possédant le plus petit périmètre est un carré.

On considère le carré suivant d’aire x2


La mesure d’un de ses côtés est x et son périmètre est 4x.  On considère ensuite un rectangle équivalent.  Il est clair que si on augmente à la fois la longueur et la largueur, l’aire du rectangle sera indubitablement supérieure et, contrairement, si on diminue à la fois la longueur et la largeur, l’aire sera nécessairement plus petite.  Il faut donc augmenter la longueur et diminuer la largeur (ou vice-versa).  Les mesures des côtés du rectangle sont donc (x + a) et (xb), où a et b sont deux nombres réels strictement positifs.  Le périmètre du deuxième rectangle estEn quoi cela se compare-t-il avec le périmètre du carré ?  Comme les rectangles sont équivalents, on a, en comparant les aires,

En substituant, le périmètre du deuxième rectangle devientet puisquel’expressionest strictement positive.  Cela nous permet de conclure que

On pose ensuite le problème suivant

Un terrain rectangulaire d’aire A se trouve le long de la rive (rectiligne) d’une rivière.  Quelle est la longueur minimale de la clôture nécessaire pour clôturer les trois autres côtés du terrain ?

On a

avec

En substituant on obtientOn cherche à minimiser P.  En dérivant par rapport à x on obtientpuis en résolvantOn ne retient que la racine positive puisque x > 0.  Enfin commeon a en remplaçantce qui nous assure que notre solutionest un minimum.  Il est peut-être étonnant de prime abord de voir quen’est pas la solution et que le rectangle de plus petite aire n’est pas un carré !  C’est essentiellement contraire à l’intuition que l’on aurait pu se forger au départ.  On peut obtenir une expression pour y

et calculer ce qui donne, comme longueur de clôture,

Comme il est inutile de clôturer la rive, on n’a qu’à compter le plus grand côté une seule fois.  Il semble donc normal, après réflexion, qu’on ait y ­> x dans la solution optimale.