Exercice : on doit évaluer l’intégrale définie suivante

On effectue la longue division afin d’obtenir, on l’espère, des termes plus faciles à intégrer.  Cette dernière me donne

La longue division polynomiale avec crochet

et on a doncEn évaluant cette intégrale terme à terme, on obtientComme on a en pluseton obtientun résultat particulièrement attrayant.

 

Comme l’intégrande est positif (il s’agit d’un quotient dans lequel le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs), et que 0 ­< 1, l’intégrale sera positive. Cela nous montre de manière élégante et économique que 22/7 est plus grand que π.

Référence : Julian Havil (2009), Gamma : Exploring Euler’s Constant