Considérons la parabole suivante, avec son foyer F et sa droite directrice D1 et un point P sur cette parabole.

Comme tout point de la parabole est équidistant du foyer et de la droite directrice (sa définition usuelle comme lieu de points),  on trouve

(avec, au passage, AP perpendiculaire à D1, c’est une distance).

Relions A et F.  Dans le billet sur la droite d’Euler, on montre que tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment (et réciproquement).  Le point P est donc sur la médiatrice de AF.

Bien !  Montrons que cette médiatrice est tangente à la courbe.  Dans ce cas, il faudrait que la droite et la parabole ne se touche qu’en un point.  Supposons que la médiatrice coupe la parabole en deux endroits et déduisons une contradiction.

En effet, supposons que la droite AF coupe aussi la parabole en B.  Comme le point B est sur la médiatrice, il est à la même distance de A que de F.  On a donc

Or, par définition, si B est aussi sur la parabole, on trouve aussi

(encore une fois, ici, BC perpendiculaire à D1).

Est-ce que, vraiment, AB peut être égal à CB ? Réfléchissons un peu.  Si c’était le cas, alors le triangle ABC serait isocèle et ABC étant isocèle, il serait aussi isoangle.  Mais comme l’angle ACB est droit, on aurait aussi BAC droit.  Et alors on obtiendrait ce résultat

qui est parfaitement faux, bien entendu*.  La médiatrice est donc tangente à la parabole.  En déplaçant le point A sur la droite directrice, on obtient donc une infinité de médiatrices toutes tangentes à la parabole.  Cela donne lieu à une construction très belle !

Cette propriété permet aussi d’expliquer la construction de la parabole par pliage.

*dans le plan euclidien gnagnagna !