À la fin d’un récent billet, il est question d’une généralisation de la démarche présentée qui permet de démontrer l’irrationalité des nombres de la forme √kk n’est pas un carré parfait. Il s’agit donc en quelque sorte d’une manière très économique de traiter d’un coup une infinité de nombres irrationnels. On présente ici une autre méthode sans lien avec cette dernière mais qui permet de traiter elle aussi de manière économique et élégante un ensemble encore plus grand de nombres irrationnels.

Le théorème des racines rationnelles

Je me souviens d’avoir vu le théorème des racines rationnelles à l’université en théorie des équations, alors qu’on voulait trouver des solutions à des équations polynomiales. Pour une raison que j’ignore, le professeur, alors, n’avait pas jugé bon faire le lien qui fait l’objet du présent billet, pourtant bien connu.

On considère l’équation polynomiale suivante :

dans laquelle les coefficients c sont des nombres entiers. On note que si les coefficients sont rationnels, alors il suffit de multiplier les deux côtés de l’équation par le plus petit commun multiple des dénominateurs. On se retrouve ainsi avec des coefficients entiers.

On suppose que le polynôme a une solution rationnelle et on suppose en plus que cette solution soit a/b, avec a et b premiers entre eux (en d’autres mots, la fraction est réduite).  Ainsi, on aEn multipliant par bn de chaque côté, on se retrouve avec

En isolant cnan, on obtientpuis en effectuant la mise en évidence de b à droite,Comme a et b sont premiers entre eux, on a que b divise cn.  En d’autres mots b est un facteur de cn.  Si on isole plutôt c0bn, on obtientEt cette fois-ci, on effectue la mise en évidence de a,Comme a et b sont premiers entre eux, a doit diviser c0.

Ainsi, si une équation polynomiale

possède des solutions rationnelles, par exemple a/b avec a et b premiers entre eux, alors a sera un facteur de c0 et b sera un facteur de cn. Autrement, les solutions, si elles existent, sont irrationnelles.

De plus, si le coefficient de xn est 1, la solution rationnelle a/b sera un entier. En effet, si, dans cette solution rationnelle, b est négatif, on peut toujours le rendre positif en absorbant le signe négatif au numérateur a. Ainsi, b doit être un nombre positif qui divise 1.  Le seul nombre possible est donc 1 et la solution rationnelle prend la forme a/1, c’est-à-dire un entier.

 

Certains nombres irrationnels

On peut donc montrer facilement que

est un nombre irrationnel.  En effet, ce nombre est une solution de l’équation

Si cette équation possède une solution rationnelle, alors cette solution sera de la forme Or, commele nombre qui est une solution à l’équation, ne peut être égal à aucune des solutions rationnelles possibles.  Il est donc irrationnel.  On aurait pu aussi montrer quece qui élimine toute possibilité de solution rationnelle pour cette équation.  La ou les solutions de l’équation, si elles existent, sont irrationnelles.  Or comme le nombreest une solution à cette équation (de par la manière dont on l’a construite), il est irrationnel.

 

On peut de la même manière classer tous les nombres de la formethedudeminds_2012121313avec a entier. Ces nombres sont soit irrationnels, soit entiers. Dans ce dernier cas, ils sont une nième puissance d’un nombre entier. En élevant à la nthedudeminds_2012121314on obtient l’équation polynomiale suivantethedudeminds_2012121315

Puisque le coefficient de xn est 1, les solutions rationnelles à l’équation, si elle existent, sont des nombres entiers. Sithedudeminds_2012121316n’est pas entier, il est donc irrationnel et sithedudeminds_2012121316est entier, alors on athedudeminds_2012121901pour un certain entier k et donc aussithedudeminds_2012121902

c’est-à-dire que a est la  nième puissance de k.

 

Cette méthode permet de traiter d’autres nombres irrationnels plus “compliqués”. Par exemple, avec le nombre

thedudeminds_2012121301

on commence par isoler une des deux racines carréesthedudeminds_2012121302puis on élève au carréthedudeminds_2012121303

On isole ensuite l’autre racinethedudeminds_2012121304et on élève encore au carréthedudeminds_2012121305afin d’obtenir l’équation polynomiale suivantethedudeminds_2012121306

Par la manière dont on a construit cette équation, on sait que le nombrethedudeminds_2012121307est une solution à l’équation. Comme le coefficient du terme de degré 4 est 1, si cette équation possède des solutions rationnelles, elles auront nécessairement l’une ou l’autre des formes suivantesthedudeminds_2012121308puisque le terme constant ne possède que deux diviseurs : 1 et -1. Or commethedudeminds_2012121309etthedudeminds_2012121310on a certainement quethedudeminds_2012121311ce qui élimine toute possibilité quethedudeminds_2012121307soit égal à 1 ou -1. Le nombre thedudeminds_2012121307est donc irrationnel. On aurait aussi pu procéder de cette manière, en vérifiant que chacun des candidats aux racines rationnelles ne soient effectivement pas des racines de l’équation.

thedudeminds_2012121312Or commethedudeminds_2012121307est une racine, mais que l’équation ne comporte pas de racine rationnelle, le nombrethedudeminds_2012121307 est donc irrationnel.