Voici une preuve qu’on dit être une “one-sentence proof” [1] de l’irrationalité du nombre √2, différente (et je crois moins connue) de celle plus couramment rencontrée. Comme l’autre, c’est une preuve par l’absurde.

Supposons que le nombre √2 soit rationnel et qu’il soit égal àavec m et n premiers entre eux (c’est-à-dire que la fraction est réduite), alors on a aussi que et on trouve là la contradiction souhaitée : une fraction en plus petits termes !

 

Bien sûr, cette “preuve en une phrase” nécessite qu’on éclaircisse quelques détails. Il faut principalement vérifier que la deuxième fraction est bien égale à la première. Et il faut aussi vérifier que le dénominateur de la deuxième fraction est positif et plus petit que n, le dénominateur de la première fraction. Soit. Puisqueet que n est positif, on a en multipliant par net puis en soustrayant nDu coup on trouve que le dénominateur de la deuxième fraction est à la fois positif et plus petit que le dénominateur de la première fraction. En partant deon trouve de manière équivalente(on remarque au passage, avec m et n premiers entre eux, que n est le plus petit entier qui puisse rendre le membre de gauche entier).  En élevant au carré, on aEn soustrayant nm de chaque côté(pas de problème encore une fois puisqueimpliqueen multipliant par n eten multipliant par m, les deux côtés de l’équation restent donc positifs) et en effectuant une mise en évidence de chaque côtéon obtient le résultat demandé

et, du même coup, la contradiction.  Il aurait été possible d’emprunter une démarche similaire avec comme point de départDans son article, Bloom [1] mentionne que cette preuve a été présentée sous une forme légèrement différente par Ivan Niven en 1985. Il ajoute aussi que cet argument peut être modifié sans grande difficulté pour traiter un nombre √k quelconque où k n’est pas un nombre carré. En effet, avec j l’unique entier tel que

si on poseavec m et n premiers entre eux, on trouvera aussiune fraction en plus petits termes.

[1] David M. Bloom, A One-Sentence Proof That √2 Is Irrational, Mathematics Magazine Oct. 1995