La version classée “Visa Général”

Un problème classique de probabilité géométrique (qui s’intègre par exemple au programme de troisième secondaire) est le suivant :

On sélectionne un point au hasard sur une cible circulaire. Quelle est la probabilité que le point choisi soit plus prêt du centre que de la circonférence de la cible ?

Il semble assez évident pour les élèves de délimiter correctement de manière intuitive les zones par deux disques concentriques.

thedudeminds_2012122606

Plusieurs élèves évaluent néanmoins incorrectement (souvent sans avoir fait un seul calcul ou réfléchi au rapport des aires de figures semblables) la probabilité de choisir un point dans la zone hachurée à 1/2 (parce que le rayon du disque hachuré correspond à la moitié du rayon du grand disque). Or, si le petit disque possède un rayon de r et le grand 2r, on athedudeminds_2012121331

ce qui n’est pas la solution attendue par ces élèves ! Il y a donc un certain élément de surprise.

La version “Pour Adultes”

Quel ne fut pas mon plaisir de tomber sur un problème similaire mais cette fois-ci pour les plus grands. On n’a qu’à changer un seul mot.

On sélectionne un point au hasard sur une cible carrée. Quelle est la probabilité que le point sélectionné soit plus prêt du centre du carré que d’un de ses côtés ?

Je vous conseille bien fortement d’essayer de trouver la solution par vous-même avant de continuer la lecture. Quel plaisir ! Ce problème faisait partie de la compétition Putnam 1989. Dans l’énoncé original, on demande que la réponse finale soit sous la formethedudeminds_2012122099

avec a, bc et d entiers. C’est ce que nous allons faire.

Un analyse sommaire peut nous conduire à identifier des points “évidents” situés les frontières (en rouge, ci-bas).thedudeminds_2012122601

Or, nos “réflexes” habituels semblent de prime abord futiles. La région à considérer n’est certainement pas un carré
thedudeminds_2012122602
car, ici, commethedudeminds_2012122703et que le segment OP est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont OS est une cathète, on a clairement que

thedudeminds_2012122704Le point P est donc plus prêt du côté du carré que du centre. La région à considérer n’est pas non plus un disque

thedudeminds_2012122603puisque si

thedudeminds_2012122701on ne peut clairement pas avoir en même temps également

thedudeminds_2012122702

si P n’est pas en S. Le point P est donc plus prêt du centre que du côté du carré.

L’ensemble de points équidistants d’un point et d’une droite est une parabole. La région à considérer est donc délimitée par quatre paraboles qui ont pour foyer le centre du carré et comme droites directrices les droites qui supportent les côtés du carré.thedudeminds_2012122604On s’affaire donc à trouver l’aire de cette région hachurée. La tâche s’avère de prime abord ardue. Cependant, il est possible d’utiliser les symétries de la figure à notre avantage. On place d’abord le tout dans un repère cartésien. Les sommets du carré sont (1, 1), (-1, 1), (-1, -1) et (1, -1).thedudeminds_2012122607

En vertu des symétries de la figure, il nous est possible de nous concentrer seulement sur la partie située dans le premier quadrant.thedudeminds_2012122608

Qui plus est, il est possible de ne s’attarder qu’à la moitié de cette dernière région.

thedudeminds_2012122605Ce “croissant de parabole” correspond à la moitié de la région à considérer dans le premier quadrant. On note au passage que l’aire du carré dans ce premier quadrant est 1 (pratique pour calculer des probabilités !) Le “croissant” est à son tour divisé en deux parties : la zone de forme triangulaire A1 et la zone A2. On cherche l’aire de ces zones. Pour y arriver, on aura besoin des coordonnées de P.

L’équation de la parabole qui nous intéresse estthedudeminds_2012122709

h et k sont les coordonnées du sommet de la parabole et c est la distance (orientée) focale. On a donc

thedudeminds_2012122001

On isole ensuite y dans
thedudeminds_2012122002en prenant la racine carréethedudeminds_2012122003On ne s’intéressera qu’à la branche située au dessus de l’axe des abscisses. Ainsi, on ne garde que la racine positivethedudeminds_2012122004On cherche ensuite les coordonnées de P, le point d’intersection entre la courbe d’équationthedudeminds_2012122004 et la droite d’équationthedudeminds_2012122005Par comparaison, on athedudeminds_2012122006puis en élevant au carréthedudeminds_2012122007On obtient un trinôme du deuxième degréthedudeminds_2012122008qu’on peut résoudre en compétant le carréthedudeminds_2012122009Comme P est dans le premier quadrant, on ne garde que la solution positivethedudeminds_2012122010et puisquethedudeminds_2012122005les coordonnées de P sontthedudeminds_2012122011Il nous est donc déjà possible de trouver l’aire du triangle, que l’on a identifié comme A1.thedudeminds_2012122012Il reste à trouver l’aire de la région sous la courbe, celle identifiée comme A2. On pose l’intégrale définie suivantethedudeminds_2012122013On effectue le changement de variables suivantthedudeminds_2012122014en n’oubliant pas les bornes de l’intégralethedudeminds_2012122015etthedudeminds_2012122016On a doncthedudeminds_2012122017Ainsi, on obtient l’aire A2thedudeminds_2012122018

L’expression entre parenthèses se simplifie.  Le nombre sous la racine est effectivement un carré.  On pourrait poserthedudeminds_2012122019En égalant les parties entières du nombre et les coefficients de √2, on obtient les équations suivantesthedudeminds_2012122020etthedudeminds_2012122021Par chance, la dernière devient, en divisant par 2,thedudeminds_2012122022Il faut donc que a et b prennent les valeurs de 1 et -1. Dans quel ordre ? Il suffit de remarquer qu’on veut un nombre

thedudeminds_2012122705positif. On pose doncthedudeminds_2012122706

ce qui satisfait bien entendu la deuxième équation mais aussi la première, afin d’obtenirthedudeminds_2012122023L’aire totale est donc dethedudeminds_2012122024En développant on athedudeminds_2012122025puis en mettant sur dénominateur communthedudeminds_2012122026on obtient finalementthedudeminds_2012122707

Comme le carré du premier quadrant à une aire de 1, il ne reste qu’à doubler ce résultat afin d’obtenir la probabilité recherchée

thedudeminds_2012122708ce qui correspond à un peu moins de 22%.