Quelle est l’aire de la région ombrée dans le quadrilatère ci-dessous ?

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J’ai perdu la source exacte mais je me souviens de lire sur le subreddit /r/math les commentaires d’un père exaspéré concernant ce problème que sa fille devait compléter dans ses devoirs. Il était incapable de le résoudre et se demandait comment, ô infamie, peut-on donner à d’aussi jeunes esprits un problème aussi “difficile” !

Il se trouve que les auteurs du problème étaient aussi sur Reddit et leur réponse était brillante : un bon problème est un problème légèrement au dessus de nos aptitudes. Le problème doit être à la fois accessible et difficile, mais pas trop. Reproduire une démarche en changeant les nombres n’est pas “faire des mathématiques”. Ça prend une idée, un pattern, un moment d’illumination. Si on faisait plus souvent des mathématiques (et moins de “pluggage de chiffres”) à l’école et dans les devoirs à la maison, ce genre de défi ne causerait aucun affolement : au contraire, au lieu de prendre des allures menaçantes, il apparaîtrait à nos yeux (et surtout à ceux de l’élève) fort attrayant et plaisant à résoudre. Ce problème est à la portée de l’élève. Ce dernier doit avoir une idée, l’exploiter, et voir les choses sous un autre angle. Et il n’est pas trop difficile !

Et je rajouterais qu’il n’y a absolument aucun problème avec le fait de ne pas être capable de répondre adéquatement à la question : on a le droit à l’erreur en apprentissage. On a le droit à ne pas être capable en apprentissage. Il faut simplement savoir quoi faire avec cette erreur et quoi faire avec cet échec, par la suite.

Enfin, bref… Pour ma part, lorsque j’ai vu le problème, je n’ai pu résister. Hors, voilà, après quelques instants, il n’y a pas de honte, je ne “vois” pas. Mes premiers réflexes, entraînés par ces années à travailler avec des manuels scolaires souvent rébarbatifs, sont d’essayer de trouver les longueurs inconnues des cathètes des triangles rectangles blancs. Un x ici, un y là. Or, mon intuition me pousse pourtant dans le sens contraire : il s’avère qu’on ne semble pas connaître suffisamment d’informations pour y arriver (trouver les mesures manquantes). Comme la question est sur Internet, je suis donc assis à l’ordinateur, et d’un clic j’ouvre Géogébra et je me dis que je pourrais reproduire la figure à l’échelle. Pour les élèves, cette tâche est déjà un défi en soi (comment reproduire la figure adéquatement en respectant les contraintes …)

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Cela fait, et là, surprise ! Le quadrilatère peut se déformer, mais la région ombrée a toujours la même aire !

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Et c’est le moment d’illumination, ce moment si cher, privilégié ! Et la géométrie dynamique, quel outil génial d’apprentissage ! Il suffit donc de tracer une diagonale comme dans la figure ci-bas.

thedudeminds_2013041904On se retrouve avec deux triangles dont les hauteurs tombent à l’extérieur du triangle, sur le prolongement du côté opposé. Le premier triangle a une base de 6 et une hauteur de 5, le deuxième triangle a une base de 3 et une hauteur de 8 (plus difficile à voir). L’aire de la région ombrée est donc de (6 × 5)/2 + (3 × 8)/2 = 15 + 12 = 27

Voilà ! Ça parait si simple !