Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Comme d’autres résultats d’arithmétique ou de théorie des nombres, sous la façade simpliste des équations diophantiennes se cachent des solutions d’une étonnante complexité.

Carl Friedrich Gauss, le prince des mathématiciens, disait, à propos :

« Leur charme particulier vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. »

C’est tout dire ! Cela explique peut-être, mais c’est dommage, pourquoi nous n’étudions pas ce genre d’équations au secondaire ni au cégep (si ma mémoire est bonne). Rappelons seulement, avant de commencer, deux choses :  d’abord, tout entier peut être décomposé en un produit de facteurs premiers et que cette décomposition est unique. Ensuite, si

et que a et c sont premiers entre eux (en d’autres mots, le pgcd de a et de c est 1), alors a divise d et c divise b. Par exemple, avec

on obtient

Or 2 divise bien 6 et 5 divise bien 15. Nous allons considérer l’équation du premier degré suivante :

dans laquelle a, b et c sont des entiers. On cherches toutes les solutions x et y entières. Une première chose nous apparait évidente : si a et b ne sont pas premiers entre eux, autrement dit, si le pgcd de a et de b est autre chose que 1, alors ce pgcd divise c, sans quoi on ne trouvera pas de solution. Par exemple, l’équation

n’admet pas de solution entière, puisque

et 23 n’est pas divisible par 3. Par contre, l’équation

admet des solutions entières, puisque 21 est divisible par 3. On peut alors se ramener à l’équation plus simple

On trouve une solution assez triviale

Mais il en existe bien d’autres.  On suppose que a et b soient premiers entre eux dans

Alors on peut trouver un couple solution, appelons letel que

On soustrait la deuxième de la premièrece qui fait, après les mises en évidenceOn obtient par la suiteou

Comme a et b sont premiers entre eux, a doit diviser y0y.  On peut donc trouver un entier k tel queEt pour la même raison b doit diviser xx0.  On trouve donc un entier k’ tel que

En remplaçant y0y et xx0 dans l’équation précédente, on obtientEn divisant par ab de chaque côté, on obtientBien ! En posanton trouve

et en isolant les variables considérées

Ces dernières expressions expriment l’infinité de solutions entières en fonction de n avec

En reprenant notre exemple, on avait déjà trouvé une solution et ici on aOn peut donc exprimer l’infinité de solutions comme

avec

Essayez ! Ça fonctionne !  Je vous conseille d’entrer quelques expressions dans Wolframalpha (c’est ce qui a piqué ma curiosité).  Lorsque des solutions entières existent, Wolframalpha fournit les équations qui les génèrent.