Chers lecteurs aguerris,

Vous pouvez passer au point 4 immédiatement. Les premiers points sont là sur ce blogue pour fin de complétude.

4. Le produit de logarithmes

Le résultat qui suit provient de la solution (erronée) mais néanmoins amusante au problème :

Que vaut l’expression suivante (sans tables et sans calculatrice): thedudeminds_2014030509

En posant thedudeminds_2014030510on peut passer à la forme exponentielle équivalente

thedudeminds_2014030511soustraire respectivement 243 et 169 de chaque côté et faire la somme des deux équationsthedudeminds_2014030512

thedudeminds_2014030513On peut réarranger les termesthedudeminds_2014030514et là, certainement, on trouve les solutions “évidentes”thedudeminds_2014030515c’est-à-dire qu’on peut répondre à la questionthedudeminds_2014030516

La réponse au problème, 10, est bonne, mais la démarche est fausse : il est évident que a et b ne peuvent prendre respectivement les valeurs 2 et 5. Pourtant le produit est bien 10 ! Hasard ? Oh!  Je ne pense pas.

On considère le produitthedudeminds_2014030517Avec le changement de bases (voir point 3)thedudeminds_2014030518et quelques manipulations algébriquesthedudeminds_2014030519on trouve la jolie égalité suivante

thedudeminds_2014030520

Ainsi, on a effectivement

thedudeminds_2014031101

Dans son livre, Roger B. Nelson [1] fait remarquer que la courbe strictement décroissante et concave d’équation

thedudeminds_2014031103 intercepte l’hyperbole équilatère d’équationthedudeminds_2014031104en deux endroits : (2, 5) et (log13(243) ; log3(169)).thedudeminds_2014031301.jpg (1)

Merci TI Nspire CAS pour le joli implicitplot.

1. Le logarithme d’un produit

En partant de la définitionthedudeminds_2014012302

on considère, d’une part, le produit xy

thedudeminds_2014012303

Avec un produit de deux puissances de même base, on additionne les exposants.thedudeminds_2014012304

D’autre part, toujours en partant de la définition du logarithme, on considèrethedudeminds_2014012305

Ainsi, on trouvethedudeminds_2014012306

et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux ! On a doncthedudeminds_2014012307

On procède de la même manière pour le logarithme d’un quotient. On obtient dans ce cas-cithedudeminds_2014021201

2. Le logarithme d’une puissance

En partant de la définition, on considère, d’une part, la puissance

thedudeminds_2014012308Avec une puissance elle-même affectée d’un exposant, on multiplie les exposantsthedudeminds_2014012309D’autre part, toujours en partant de la définition du logarithme, on considère

thedudeminds_2014012310

Ainsi, on trouvethedudeminds_2014012311

et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux ! On a donc thedudeminds_2014012312

3. La loi du changement de bases

En partant de la définition, on considère les expressions suivantes

thedudeminds_2014012313

etthedudeminds_2014012314

On substitut x, dans la deuxième expression, à gauche, par l’expression qui lui est égale dans la première.
thedudeminds_2014012315

En utilisant le résultat sur le logarithme d’une puissance, on réécrit l’expression précédente commethedudeminds_2014012316

Mais comme on avait aussi précédemmentthedudeminds_2014012314on trouve
thedudeminds_2014012317

et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux !
thedudeminds_2014012318

En divisant chaque côté par logd(c), on obtientthedudeminds_2014012319

Références : [1] Nelsen, Roger B (2000), Mathematical Fallacies, Flaws, and Flimflam

Freiling, Chris, The Change of Base Formula for Logarithms, College Mathematics Journal 17 (1986), p413