Chers lecteurs aguerris,
Vous pouvez passer au point 4 immédiatement. Les premiers points sont là sur ce blogue pour fin de complétude.
4. Le produit de logarithmes
Le résultat qui suit provient de la solution (erronée) mais néanmoins amusante au problème :
Que vaut l’expression suivante (sans tables et sans calculatrice):
En posant on peut passer à la forme exponentielle équivalente
soustraire respectivement 243 et 169 de chaque côté et faire la somme des deux équations
On peut réarranger les termes
et là, certainement, on trouve les solutions “évidentes”
c’est-à-dire qu’on peut répondre à la question
La réponse au problème, 10, est bonne, mais la démarche est fausse : il est évident que a et b ne peuvent prendre respectivement les valeurs 2 et 5. Pourtant le produit est bien 10 ! Hasard ? Oh! Je ne pense pas.
On considère le produitAvec le changement de bases (voir point 3)
et quelques manipulations algébriques
on trouve la jolie égalité suivante
Ainsi, on a effectivement
Dans son livre, Edward J. Barbeau[1] fait remarquer que la courbe strictement décroissante et concave d’équation
intercepte l’hyperbole équilatère d’équation
en deux endroits : (2, 5) et (log13(243) ; log3(169)).
Merci TI Nspire CAS pour le joli implicitplot.
1. Le logarithme d’un produit
En partant de la définition
on considère, d’une part, le produit xy
Avec un produit de deux puissances de même base, on additionne les exposants.
D’autre part, toujours en partant de la définition du logarithme, on considère
Ainsi, on trouve
et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux ! On a donc
On procède de la même manière pour le logarithme d’un quotient. On obtient dans ce cas-ci
2. Le logarithme d’une puissance
En partant de la définition, on considère, d’une part, la puissance
Avec une puissance elle-même affectée d’un exposant, on multiplie les exposants
D’autre part, toujours en partant de la définition du logarithme, on considère
Ainsi, on trouve
et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux ! On a donc
3. La loi du changement de bases
En partant de la définition, on considère les expressions suivantes
et
On substitut x, dans la deuxième expression, à gauche, par l’expression qui lui est égale dans la première.
En utilisant le résultat sur le logarithme d’une puissance, on réécrit l’expression précédente comme
Mais comme on avait aussi précédemmenton trouve
et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux !
En divisant chaque côté par logd(c), on obtient
Références : [1] Barbeau,Edward J. (2000), Mathematical Fallacies, Flaws, and Flimflam
Freiling, Chris, The Change of Base Formula for Logarithms, College Mathematics Journal 17 (1986), p413
De jolies démonstrations qui sont assez simples pour ques élèves ne se perdent pas!
March 27, 2014 @ 4:25 pm