Multiplication de logarithmes

Chers lecteurs aguerris,

Vous pouvez passer au point 4 immédiatement. Les premiers points sont là sur ce blogue pour fin de complétude.

4. Le produit de logarithmes

Le résultat qui suit provient de la solution (erronée) mais néanmoins amusante au problème :

Que vaut l’expression suivante (sans tables et sans calculatrice): $thedudeminds_2014030509$

En posant $thedudeminds_2014030510$ on peut passer à la forme exponentielle équivalente

$thedudeminds_2014030511$ soustraire respectivement 243 et 169 de chaque côté et faire la somme des deux équations $thedudeminds_2014030512$

$thedudeminds_2014030513$ On peut réarranger les termes $thedudeminds_2014030514$ et là, certainement, on trouve les solutions “évidentes” $thedudeminds_2014030515$ c’est-à-dire qu’on peut répondre à la question $thedudeminds_2014030516$

La réponse au problème, 10, est bonne, mais la démarche est fausse : il est évident que a et b ne peuvent prendre respectivement les valeurs 2 et 5. Pourtant le produit est bien 10 ! Hasard ? Oh! Je ne pense pas.

On considère le produit $thedudeminds_2014030517$ Avec le changement de bases (voir point 3) $thedudeminds_2014030518$ et quelques manipulations algébriques $thedudeminds_2014030519$ on trouve la jolie égalité suivante

$thedudeminds_2014030520$

Ainsi, on a effectivement

$thedudeminds_2014031101$

Dans son livre, Edward J. Barbeau[1] fait remarquer que la courbe strictement décroissante et concave d’équation

$thedudeminds_2014031103$ intercepte l’hyperbole équilatère d’équation $thedudeminds_2014031104$ en deux endroits : (2, 5) et (log₁₃(243) ; log₃(169)). $thedudeminds_2014031301.jpg (1)$

Merci TI Nspire CAS pour le joli implicitplot.

1. Le logarithme d’un produit

En partant de la définition $thedudeminds_2014012302$

on considère, d’une part, le produit xy

$thedudeminds_2014012303$

Avec un produit de deux puissances de même base, on additionne les exposants. $thedudeminds_2014012304$

D’autre part, toujours en partant de la définition du logarithme, on considère $thedudeminds_2014012305$

Ainsi, on trouve $thedudeminds_2014012306$

et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux ! On a donc $thedudeminds_2014012307$

On procède de la même manière pour le logarithme d’un quotient. On obtient dans ce cas-ci $thedudeminds_2014021201$

2. Le logarithme d’une puissance

En partant de la définition, on considère, d’une part, la puissance

$thedudeminds_2014012308$ Avec une puissance elle-même affectée d’un exposant, on multiplie les exposants $thedudeminds_2014012309$ D’autre part, toujours en partant de la définition du logarithme, on considère