J’aurais bien aimé voir ce petit résultat de Bernhard Riemann dans mon cours de calcul intégral au cégep.

La mise en garde concerne la convergence des séries infinies.  Riemann utilise, comme exemple, la série bien connue de Leibniz :

Il décide de permuter candidement les termes.  Il somme les deux premiers termes positifs puis le premier terme négatif.  Il ajoute ensuite les deux termes positifs suivants puis le terme négatif suivant.  Et ainsi de suite.  Il obtient donc la série :

En groupant les termes trois à trois,

il constate que les sommes partielles sont de la forme

avec

Il peut évidemment additionner ces trois termes après avoir mis sur dénominateur commun et obtient

Mais comme n est un entier positif, il est facile de voir que le numérateur et le dénominateur seront eux-aussi positifs.  Le quotient est donc un nombre positif.  Puisque

Riemann pose par la suite l’inégalité suivante

Mais sachant que

et que

il s’agit là d’un résultat fort surprenant !  Riemann a changé la somme de la série en ne faisant que changer l’ordre des termes ! Voilà donc quelque chose de bien embêtant.  Pire !  Il montre plus tard qu’on peut faire converger la série vers une somme arbitrairement choisie !

La série de Leibniz est une série convergente, mais pas absolument convergente.  On dit qu’elle est semi-convergente.  Une série peut contenir des termes négatifs, comme c’est le cas ici (série alternée).  Pour être absolument convergente, il faut que la série des valeurs absolues des termes soit convergente.  En d’autres mots, la série

est absolument convergente si la série

est convergente.

La série des valeurs absolues de la série de Leibniz est divergente.  Voyez voir… On pose

et après mise en évidence, on retrouve la série harmonique, bien connue pour sa divergence

Dirichlet montra plus tard que changer l’ordre des termes d’une série absolument convergente ne change pas sa somme.

Bonus : La divergence de la série harmonique. Nicole Oresme (1325 – 1382) a fournit une très belle preuve de la divergence de la série harmonique.  C’était en 1350, l’âge de pierre des mathématiques européennes, bien avant (on parle ici de 300 ans) celles des Bernouilli.  Sa preuve est aussi, à mon avis, beaucoup plus claire.

Il construit d’abord cette suite d’inégalités

et conclut que

Cela nous assure que la série dépassera toujours une quantité aussi grande que désirée (il suffit de choisir correctement k).

Reférence : John Derbyshire (2003), Prime Obsession

William Dunham (2008), The Calculus Gallery