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Ce qu’il faut savoir :

dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes ;

dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes ;

dans un triangle, les trois médianes sont concourantes.

Voilà ce qu’il faut savoir ! Et bien commençons !  Tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des deux extrémités du segment.  Traçons la médiatrice de AB qui la coupe en C.  D est un point de cette médiatrice.  Montrons que

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Le cas est trivial si D et C sont confondus, point milieu de AB (définition de médiatrice).

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Si D n’est pas en C, alors par définition de médiatrice,  on a  bien

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et on a aussi

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Puisque les triangles ACD et BCD partagent le côté CD,  on trouve qu’ils sont isométriques par le cas d’isométrie CAC.  Et comme dans les triangles isométriques les côtés homologues sont isométriques, on trouve

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La réciproque est aussi vraie.  Si D est équidistant de A et de B, on peut affirmer que

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En particulier, si D était sur AB (C sur l’image), on aurait aussi

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Puisque les deux triangles ACD et BCD partagent le côté CD, on trouve qu’ils sont isométriques par CCC.  Les angles ACD et BCD étant d’une part des angles homologues isométriques, et d’autre part adjacents supplémentaires, on déduit que

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DC est donc une médiatrice.

Considérons le triangle ABC suivant.  DF est la médiatrice de BC et DE est la médiatrice de AC.  Les deux médiatrices se coupent en D.

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Puisque DF est la médiatrice de BC, on trouve

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Puisque DE est la médiatrice de AC, on trouve

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et par transitivité, on conclut que

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Mais cela implique donc que D est situé sur le médiatrice de AB puisqu’il est équidistant de A et de B ! Les trois médiatrices se rencontrent en un point.  C’était la première chose à savoir !

Portons maintenant notre attention sur le triangle ABC suivant :

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On a d’abord tracé les trois hauteurs AJ, BE et CD.  On a ensuite tracé GI parallèle à AC et passant par B, HI parallèle à AB et passant par C et GH parallèle à BC et passant par A.

Toutes ces droites parallèles forment évidemment une panoplie d’angles alternes-internes isométriques.

Considérons les parallèles AC et GI et la sécante BC.  Les angles IBC et ACB sont alternes-internes isométriques.

Considérons les parallèles AB et HI et la sécante BC.  Les angles ABC et BCI sont aussi alternes-internes isométriques.

Les triangles BIC et ABC partagent le côté BC et sont donc isométriques par ACA.  Et comme dans les triangles triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques, on trouve

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Considérons les parallèles BC et GH et la sécante AB.  Les angles GAB et ABC sont alternes-internes isométriques.

Considérons à nouveau les parallèles AC et GI et la sécante AB.   Les angles GBA et BAC sont alternes-internes isométriques.

Les triangles GAB et CBA partagent le côté AB et sont donc isométriques par ACA.  Et comme dans les triangles triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques, on trouve

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Cela implique donc, par transitivité, que

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On peut dire que B est le point milieu de GI.  Par le même raisonnement, on pourrait trouver que A est le point milieu de GH et C est le point milieu de HI.

Comme BE est perpendiculaire à AB (définition de hauteur) et AB est parallèle à GI (par construction), on a BE perpendiculaire à GI.  Par le même raisonnement, on trouve que AJ est perpendiculaire à GH et DC est perpendiculaire à HI.

BE, AJ et DC sont donc les médiatrices du triangle GHI.  Et comme les médiatrices sont concourantes, on trouve que BE, AJ et DC, qui sont aussi les hauteurs de ABC, se rencontrent en F.  Les trois hauteurs d’un triangle se rencontrent donc en un même point.  C’était la deuxième chose à savoir !

Considérons maintenant le triangle ABC suivant : 2009_11_25_04

Dans le triangle ABC, on a tracé les médianes CE et AD qui se coupent en G.  Traçons aussi DE.  Par définition de médiane, on trouve que

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et

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Les triangles ABC et EBD partagent l’angle EBD.  Ils sont donc semblables par CAC.  Puisque dans les triangles semblables les côtés homologues sont dans le même rapport, on déduit que

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Dans les triangles semblables, les angles homologues étant isométriques, on trouve que les angles BED et BAC sont isométriques.  Et puisque ces angles sont aussi correspondants, on trouve que ED est parallèle à AC (puisque des angles correspondants isométriques sont formés par des parallèles).  En considérant cette dernière paire de parallèles et la sécante CE, on trouve que les angles DEG et ACG sont alternes-internes isométriques.  Avec les angles EGD et CGA opposés par le sommet, et donc isométriques, on conclut que les triangles EGD et CGA sont semblables par AA.  On avait déjà établit que

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et puisque dans les triangles semblables on observe des côtés homologues proportionnels, alors on déduit que

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et

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Les médianes se coupent donc au 2/3 de leur longueur à partir du sommet (ou dans un rapport 2:1).  En répétant cette démarche avec l’autre médiane, on trouve que les médianes se rencontrent effectivement en un même point.  C’était la troisième chose à savoir !

Enfin, considérons le triangle ABC suivant :

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BF et CE sont deux droites supportant les médianes se coupant en G.  FH et DH sont deux médiatrices se coupant en H.  Prolongeons GH jusqu’en J de telle sort que

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On sait que

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On trouve aussi que l’angle JGB est congru à l’angle HGF puisqu’ils sont opposés par le sommet.  Les triangles JGB et HGF sont donc semblables par le cas de similitude CAC.

Et comme dans les triangles semblables, les angles homologues sont isométriques, on trouve

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Cela implique que les droites JB et FH sont parallèles puisque des angles alternes-internes isométriques sont formés par des parallèles (utilisez la sécante JH).

Puisque HF est une médiatrice, on trouve que HF et AC sont perpendiculaires.  JB est donc aussi perpendiculaire à AC.  JB est donc supportée par la hauteur issue de B.  J est donc le point d’intersection des hauteurs.

Dans un triangle, les points d’intersection des hauteurs, des médianes et des médiatrices sont alignées sur une même droite : la droite d’Euler.

Référence : Dorrie, Heinrich, 100 Great Problems of Mathematics (1965)