Tout le monde n’a pas la chance que j’ai d’avoir un collègue aussi extraordinaire. Un collègue qui vous surprend toujours avec des trucs curieux et formidables. La semaine passée, Monsieur C. me dit sur l’heure du dîner :

Je suis tombé sur quelque chose de vraiment formidable. Choisis un grand nombre premier ( “grand nombre premier” voulant dire plus grand que 3). Élève le au carré. Ajoute 11. Le reste de la division par 24 est 12. Pourquoi ça fonctionne ?

13 est un nombre premier.

13 au carré donne 169.

169 + 11 = 180

Et 180 divisé par 24 donne 7 reste 12. Ah !

Pourquoi en effet. Si vous êtes comme moi, vous arrêterez de lire ce billet et vous passerez une bonne partie de l’après-midi à plancher sur ce problème.  Sinon, rappelez vous que…

tous les nombres entiers positifs peuvent s’exprimer sous l’une ou l’autre de ces formes

6n est divisible par 6. 6n ne peut donc par représenter un nombre premier. 6n + 2 est divisible par 2. 6n + 2 ne peut donc pas représenter un nombre premier. Pas plus que 6n + 4, lui aussi divisible par 2. 6n + 3, quant à lui, est divisible par 3 et ne peut pas plus que les trois autres représenter un nombre premier. Reste 6n + 1 et 6n + 5. Tous les nombres premiers plus grands que 3 sont donc de la forme 6n + 1 ou 6n + 5.

Considérons un de ces grands nombres premiers p.

Le texte nous dit ceci :

En soustrayant 12 de chaque côté, on obtient

Il suffit de montrer queest divisible par 24. Mince affaire ! En factorisant la différence de carrés, on obtient

Comme p est un nombre premier plus grand que 3, il est donc impair. p – 1 et p + 1, les entiers immédiatement inférieur et immédiatement supérieur, sont donc pairs. Le membre de gauche est donc divisible par 4.  Mais cela n’explique pas pourquoi il serait simultanément divisible par 6… et donc par 24.

Nous avons donc deux choix : si p est de la formeon obtientet doncSi n est pair, on peut l’exprimer de cette façonavecEn remplaçant danson obtientce qui faitEn mettant en évidence 2 dans la parenthèseon obtientEt voilà ! Le membre de gauche est divisible par 24

Si, par ailleurs, n est impair, on peut l’exprimer de cette façon

avec

Et en remplaçant dans

on obtient

ce qui fait en distribuant

et en simplifiant

En effectuant la mise en évidence de 4 dans la parenthèse, on obtient

et donc

Le membre de gauche est divisible par 24 !

Il suffit de procéder de la même façon avec

en considérant les i pairs et impairs afin de couvrir tous les cas possibles.  Il est d’ailleurs assez facile de voir que cela fonctionnera sans problème puis que

est équivalent à

pour les valeurs de n immédiatement supérieures.