Grâce à la relation de Pythagore et à quelques triangles rectangles bien choisis, il est facile de calculer les valeurs exactes de certains rapports trigonométriques.  Les classiquesouou encorepeuvent être trouvés de cette façon.  Puis, avec les formules d’addition d’angles et d’angles doubles, on peut trouver d’autres valeurs exactes.   Par exemple, en se rappelant que

on peut trouverEt en remplaçant par ce qui est connu, on trouvece qui faitet donc tout simplementOu bien, en se rappelant queon trouvece qui faitEn remplaçant la valeur du cosinus connue, on obtientOn additionne 1 de chaque côtéce qui faitet donc en effectuant l’additionPuis en divisant chaque côté de l’équation par 2Il suffit enfin d’extraire la racine carrée de chaque côté de l’équationce qui faitet donc plus simplementEt commeon obtient ce joli résultat

Bon.  Tout cela reste cependant bien peu spectaculaire.  Voici un résultat différent qui, en général, ne manque pas d’impressionner les étudiants.  Trouvons la valeur exacte de

Exit les triangles rectangles.  Nous allons considérer le triangle isocèle suivantOn appelle ce triangle le triangle d’or.  Si on trace la bissectrice d’un des angles de 72°, on obtient un nouveau triangle isocèle semblable au premier (cas de similitude AA).  On peut répéter le processus indéfiniment.  Ceux qui connaissent le rectangle d’or y voient l’analogie.

Traçons, justement, une de ces bissectrices.  On obtient

Le triangle ABD est semblable au triangle ABC par AA.  Le triangle ABD est isocèle.  Si AB mesure y, alors AD aussi puisque ce sont les côtés isométriques du triangle isocèle.  Mais il y a en un troisième, triangle isocèle, bien qu’il ne soit pas semblable aux deux autres.  C’est le triangle ADC (observez la paire d’angles de 36°).  On trouve ainsi que la mesure de DC est aussi égale à y.  En posant la mesure de BD égale à x, on trouve que la mesure de BC (et donc aussi de AC) est égale à x + y.  On peut établir la proportion suivante en associant correctement les côtés homologues dans les deux triangles semblables

ou plus simplementEn effectuant le produit croisé, on obtientOn divise ensuite chaque côté par ce qui faitOn obtient ainsi un polynôme du deuxième degré en  y / xAvec la formule quadratique, on trouve

Comme y/x est un rapport de mesures positives, on ne retient que la valeur positive pour y / x

ce qui fait

On reconnait d’ailleurs le nombre d’or.  Pour des raisons à ce moment loin d’être apparentes, on fait deux choses : d’abord on inverse et puis on élève au carré.  On obtient dans un premier tempsEn rationalisant le dénominateur on obtientet donc cecice qui fait en simplifiant le dénominateur

Sitôt ce résultat obtenu, on obtient dans un deuxième tempsce qui est équivalent àEn développantet en regroupant les termes semblablesFinalement, en simplifiant la fraction, on obtient

Considérons maintenant l’angle BAD de 36° dans le triangle BAD.  En utilisant la loi des cosinus, on peut écrire

En simplifiant le membre de droite on obtientOn effectue d’abord la mise en évidence du carré de y à droitepuis on divise chaque côté par ce même carré de yIl nous suffit donc d’écrirepour comprendre la peine qu’on s’était donnée pour trouverOn obtient donc

Il suffit maintenant d’isoler sans trop de mal le cosinus.  On divise chaque côté par 2On soustrait ensuite 1 de chaque côtéce qui faitet donc en effectuant la soustractionOn multiplie enfin chaque côté de l’égalité par -1Voilà ! La valeur exacte du cosinus de 36°.