Archives for The Dude Minds…

Les fables de L’Apothème…

ou un peu d’analyse numérique…

 

L’apothème et le côté

thedudeminds_2015050107

La question était celle-ci, posée par un élève de deuxième secondaire,

Quel est le périmètre du polygone régulier dont l’angle extérieur en chaque sommet mesure environ 6,1˚ et dont le côté mesure 6,1 cm ?

L’apothème de ce polygone est-il plus grand ou plus petit que le côté ?

En deuxième secondaire, en utilisant le fait que l’angle extérieur a pour mesure 6,1° et en trouvant que ce polygone régulier comporte 59 côtés, on déduit intuitivement que la mesure de l’apothème est sans doute plus grande que celle du côté (la trigonométrie est enseignée deux ans plus tard). Le polygone régulier à 59 côtés, illustré ci-dessus, est pratiquement déjà indistinguable d’un cercle à l’œil nu.

D’autre part, on sait que l’apothème d’un triangle équilatéral est plus petit que son côté – en fait, même la hauteur est plus petite que son côté. Avec Pythagore, on peut trouver une expression qui représente la hauteur (qui est aussi une médiane) :  $\displaystyle h = \frac{\sqrt{3}}{2}c$.

thedudeminds_2015050108

\begin{align} h^{2} + \left(\frac{c}{2}\right)^{2} & = c^2 \\ \\ h^{2} + \frac{c^2}{4}  & = c^{2} \\ \\ h^{2} & = \frac{3c^{2}}{4} \\ \\ h & = \frac{\sqrt{3}}{2}c \end{align}

puis, par symétrie, thedudeminds_2015050111
ou en utilisant le fait que les médianes se rencontrent au $\frac{2}{3}$ de leur longueur à partir du sommet, on trouve$$a = \frac{\sqrt{3}}{6}c \approx 0,2887c$$

On peut donc se demander quand le changement s’opère-t-il ? À partir de combien de côtés est-ce que l’apothème d’un polygone régulier devient-il plus grand que le coté de ce même polygone ?

En divisant le polygone régulier en $n$ triangles isocèles isométriques, puis en divisant à nouveau ces triangles en traçant les apothèmes du polygone (qui sont des hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices des triangles isocèles),thedudeminds_2015050106

on pose $$\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\frac{c}{2}}{a}$$ou, de manière équivalente, $$c = 2a\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

On cherche à résoudre l’inéquation $$ a > c$$En substituant, $$a > 2a\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

et en divisant par $2a$ (un nombre positif), on obtient $$\frac{1}{2} >\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

Or $\frac{1}{2}$ n’est pas une valeur remarquable de la tangente. En considérant le graphique de la fonction $$f(x) = \tan\left(\frac{\pi}{x}\right)$$sur l’intervalle $x \geq 3$ (heureusement, parce qu’en se rapprochant de l’axe vertical, ça se gâte!) on obtient

thedudeminds_2015050112

et on se rend compte que la mesure du côté du polygone régulier devient plus petite que l’apothème lorsqu’on passe de 6 à 7 côtés. Ainsi, pour le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier et l’hexagone régulier, la mesure de l’apothème est plus petite que celle du côté ; pour l’heptagone régulier et les suivants, la mesure de l’apothème est plus grande que celle du côté.

Mieux vaut circonscrire… qu’inscrire

J’ai récemment donné à mes élèves le problème suivant :

Dans le cercle suivant, on a inscrit le pentagone régulier $ABCDE$. La mesure d’un côté du pentagone $ABCDE$ est 542 cm. On a aussi tracé un deuxième pentagone régulier $FGHIJ$ circonscrit au cercle. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ sont respectivement les points milieux des côtés $\overline{JF}$, $\overline{FG}$, $\overline{GH}$, $\overline{HI}$ et $\overline{IJ}$ du pentagone $FGHIJ$.

boule2

Quel pentagone possède l’aire la plus proche de celle du disque ? Le pentagone $ABCDE$ ou le pentagone $FGHIJ$ ?

note : J’ai choisi la mesure de 542 cm avec un bon vieux tableur : il s’avère qu’en utilisant la moitié de 542, c’est-à-dire 271, et la tangente, on peut trouver la mesure de l’apothème : $$\frac{271}{\tan\left(36^{\circ}\right)} = 372,9995 \cdots \approx 373$$On est très près d’un entier… ça facilite la correction :-)

Bref, après quelques calculs, les élèves arrivaient à la conclusion que le pentagone régulier circonscrit avait une aire plus proche de l’aire du disque que le pentagone régulier inscrit.

Qu’en est-il des autres polygones réguliers ? Est-ce toujours le polygone circonscrit qui donne une meilleure approximation de l’aire du disque ? Voyons voir…

thedudeminds_2015050101Si on pose $c_{i}$, $a_{i}$ comme étant les mesures d’un côté et de l’apothème du polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $r$, et $c_{c}$ et $a_{c}$ comme étant les mesures d’un coté et de l’apothème du polygone régulier à $n$ côtés circonscrit dans un même cercle de rayon $r$, alors on peut trouver ceci :

$$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\frac{c_{i}}{2}}{r}$$

ce qui fait

$$c_{i} = 2r\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

On a aussi

$$\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_{i}}{r}$$

ce qui fait

$$a_{i} = r\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

On peut donc trouver une expression correspondant à l’aire du polygone régulier inscrit :

\begin{align} A_{i} & = \frac{n\cdot 2r\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot r\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) }{2} \\ \\ & = r^{2} \cdot n \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\end{align}

 

Pour ce qui est du polygone régulier circonscrit,thedudeminds_2015050102

on a $$a_{c}  = r$$

et

$$\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\frac{c_{c}}{2}}{r}$$

ou, de manière équivalente,

$$c_{c} = 2r\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

On peut donc trouver une expression correspondant à l’aire du polygone régulier circonscrit :

\begin{align} A_{c} & = \frac{n\cdot  2r\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot r }{2} \\ \\ & = r^{2} \cdot n \cdot\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)\end{align}

Comme tous les disques et polygones réguliers à $n$ côtés sont semblables, on peut poser le rayon du cercle égal à 1, sans perdre de généralité.

Suspectant que le polygone circonscrit ait toujours une aire plus près de celle du disque que le polygone inscrit, c’est-à-dire que si $A_{d}$ est l’aire du disque et $A_{i}$ et $A_{c}$ sont les aires des polygones réguliers à $n$ côtés respectivement inscrit et circonscrit, on aurait

\begin{align}\left(A_{d}\; – A_{i}\right) – \left(A_{c} – A_{d}\right) & > 0\\ \\ \left(\pi \left(1\right)^{2} -n \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) – \left(n\cdot\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) – \pi \left(1\right)^2\right) & ­> 0\\ \\ 2\pi-  n \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) – n\cdot\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)  & > 0\end{align}

je  me suis intéressé à la fonction suivante

$$f\left(x\right) = 2\pi-  x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) – x\cdot\tan\left(\frac{\pi}{x}\right)$$

Comme on ne considère que des valeurs de $x \geq 3$, la fonction se comporte bien (pas d’asymptote ou discontinuité puisque dans ce cas, $0 < \frac{\pi}{x} \leq \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$). Et je m’attendais, sur ce domaine, à avoir une fonction strictement positive $$f\left(x\right) > 0$$thedudeminds_2015050103

Or ce n’est pas le cas ! On voit que pour la valeur $n=3$, la fonction est négative ! Il y a donc une exception : le tout premier polygone régulier, le triangle équilatéral. On voit aussi que la différence est maximale lorsque $n = 4$ (environ 0,28), tout juste devant $n = 5$ (environ 0,27).

À droite du zéro, la fonction reste gentiment au dessus de l’axe des abscisses (un petit exercice sur les limites suit).thedudeminds_2015050113

No solutions exist. C’est WolframAlpha qui le dit !

Le terme $x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \to \pi$ (par en dessous) lorsque $x\to \infty$ et $x\cdot\tan\left(\frac{\pi}{x}\right) \to \pi$ (encore une fois, par en dessous) lorsque $x \to \infty$. Pour s’en convaincre, il suffit de substituer $$z = \frac{\pi}{x}$$Ainsi, $z \to 0$ lorsque $x \to \infty$ et on retrouve les limites bien connues $\displaystyle \lim_{z\to 0}\cos\left(z\right) = 1$  et $\displaystyle \lim_{z\to 0} \frac{\sin\left(z\right)}{z}=1$. On a $$\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) =\pi \cdot \left(\lim_{z \to 0} \frac{\sin\left(z\right)}{z}\right)\cdot\left(\lim_{z \to 0} \cos\left(z\right)\right)=\pi \cdot 1 \cdot 1 = \pi $$La deuxième limite est similaire en utilisant en plus le fait que $\displaystyle \tan\left(z\right) = \frac{\sin\left(z\right)}{\cos\left(z\right)}$.

En d’autres mots, le polygone régulier circonscrit a toujours une aire plus proche de celle du disque que le polygone régulier inscrit… sauf dans le cas du triangle équilatéral : le triangle équilatéral inscrit à une aire plus proche de celle du disque que le triangle équilatéral circonscrit.thedudeminds_2015050105

Schlegel

C’est la première fois que j’enseigne pour un long moment (une demi-année) la séquence “régulière” de cinquième secondaire (Culture, société et technique). Même si cette séquence est prescrite à 4 cours par cycle, en réalité, comme dans plusieurs écoles, et pour des raisons purement administratives, on la donne à 6 cours par cycle. Cela confère donc à l’enseignant plus de temps avec les élèves et, pourquoi pas, de la latitude quant aux contenus abordés. C’est aussi la seule séquence avec les graphes au programme. J’ai jusqu’à maintenant beaucoup de plaisir à enseigner les graphes puisque c’est un sujet très vaste avec de nombreuses applications (mathématiques) fort ingénieuses (mais encore faut-il s’y intéresser!)

Ainsi je suis assez fier de mes élèves qui ont terminé cette semaine un petit projet d’origami modulaire. Au menu, dodécaèdres réguliers en Post-it, diagrammes de Schlegel, cycles hamiltoniens, et un peu d’histoire des mathématiques.IMG_0506.JPG

Dessiner le diagramme de Schlegel de certains polyèdres n’est pas une tâche facile ! Bravo !

Brève: Choix multiples

Vous avez dit une bonne question à choix multiples ?

 

thedudeminds_2015011303Inspiré de la question #25 du concours AMC-12A de l’année 2002. J’ai utilisé “parabole” plutôt que “représentation graphique d’une fonction polynomiale de degré n” pour ne pas effrayer nos pôôôvres élèves de quatrième secondaire.

Ne soyez pas gênés!

… ou à propos de “ne pas voir”.

Cette vidéo de Numberphile renferme un extrait que je trouve absolument savoureux. Le grand John Conway y relate sa première rencontre, à Cambridge, avec la suite qui porte aujourd’hui son nom (Look-and-Say sequence en anglais).

La leçon est claire : “so, there’s no need to be embarassed if you didn’t get to what this sequence consists of“.

Au fait j’ai vu ce problème, dans des manuels scolaires du secondaire, et il faudrait faire aussi la recherche dans les manuels du primaire, et combien d’autres pas du tout triviaux, coincés anonymement entre deux lots de questions de routine… à quoi pense l’élève de première secondaire qui doit résoudre ce problème le soir, seul, en devoirs, pour le lendemain (et à qui on n’a pas dit qu’il avait le droit, en apprentissage, de ne pas “voir” sur-le-champ)?

"Mathematics possesses not only truth, but supreme beauty - a beauty cold and austere, like that of a sculpture, without appeal to any part of our weaker nature... sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show."

- Bertrand Russel (1872 - 1970)