Conjecture

Voici une belle situation de conjecture qu’on pourrait faire en première secondaire, après avoir vu comment trouver le ppcm et le pgcd de deux nombres. Les situations de conjecture sont au programme, et j’ai l’impression qu’on en fait trop peu souvent. C’est malheureux parce que c’est notamment dans ce genre de situations que les élèves mettent vraiment à profit leur créativité, c’est dans ces situations qu’ils font des mathématiques. Il me semble qu’ils ont parfois cruellement besoin d’un peu plus de ça et d’un peu moins de ça.

On choisit deux nombres entiers positifs. On calcule leur plus grand commun diviseur et leur plus petit commun multiple. Que pouvez-vous dire à propos du produit du ppcm et du pgcd de ces deux nombres ?

Par exemple, en choisissant les nombres 24 et 36, on obtient un pgcd de 12 et un ppcm de 72. Le produit demandé est donc égal à 12 × 72 = 864. Hummmmm… C’est peut-être apparent pour vous et moi, mais des élèves de première ou deuxième secondaire auront certainement besoin de plusieurs autres exemples avant de conjecturer. Il serait donc utile de leur en fournir. Les élèves pourraient aussi eux-mêmes créer des exemples additionnels. On pourrait ainsi vérifier quels élèves utilisent des stratégies efficaces telles que prendre des petits nombres et des nombres premiers entre eux. En refaisant l’exercice avec les nombres 6 et 7, premiers entre eux, on a un pgcd de 1, et donc un ppcm de 6 × 7 = 42. Le produit du ppcm et du pgcd est donc 1 × 42 = 42, c’est-à-dire le produit des deux nombres du départ ! Coïncidence ? Conjecture !

Pour les plus vieux, on peut procéder en deux étapes. On choisit deux nombres a et b. On posethedudeminds_2013012201c’est-à-dire qu’on athedudeminds_2013012202pour certains entiers r et s premiers entre eux. Incidemment, on a aussithedudeminds_2013012203c’est-à-dire s fois le nombre a et r fois le nombre b. Comme s et r n’ont pas de facteur commun, il est impossible de trouver un plus petit multiple commun aux deux nombres. En outre, on a bienthedudeminds_2013012204Le produit du ppcm et du pgcd de deux nombres est égal au produit des deux nombres.

A Mathematician’s Lament

C’est un texte qui a beaucoup circulé dans la blogosphère et  le milieu de l’enseignement des mathématiques en général.  Il a été écrit par Paul Lockhart en 2002.  Lockhart est un mathématicien au parcours peu ordinaire et qui a travaillé entre autre avec Ernst Strauss et Pál Erdős.  Il enseigne depuis quelques années dans une école primaire de la région de Brooklyn.

Bonne lecture.  Ça fait réfléchir.

Lockhart’s Lament

(via http://www.maa.org/devlin/devlin_03_08.html)

Citation

There’s a tendency for adults to label the math that they can do (such as identifying patterns, choosing between competing offers in a supermarket, and challenging statistics published by the government) as “common sense” and labeling everything they can’t do as “math” — so that being bad at math becomes a self-fulfilling prophecy.

–  Rob Eastaway, Mike Askew

(via : http://letsplaymath.net )

Les mathématiques à l’école secondaire…

Monsieur C, mon éminent collègue (et futur précieux collaborateur de ce blogue, je l’espère) me rappelle de faire un petit tour sur www.ted.com afin d’y voir cette vidéo :

Pour ceux qui ne connaissent pas www.ted.com, on y trouve véritablement des centaines de vidéos tout aussi extraordinaires.  Allez-y faire un tour !