La trisection de l’angle est un problème classique de géométrie. On sait aujourd’hui que la trisection ne peut être réalisée à la règle (non-marquée) et au compas. Par contre, la trisection peut être réalisée avec d’autres instruments, quelques mécanismes produisant des courbes (que l’on appelle, vous l’aurez deviné, des courbes trisectrices !) Le mathématicien grec Nicomède (env. -280 – env. -210) en a découvert une, la conchoïde qui porte son nom, et qui permet de réaliser la trisection d’un angle. La conchoïde de Nicomède est probablement la plus connue des courbes trisectrices. En voici une autre…
On construit la trisectrice de Ceva de telle manière. On considère le cercle de centre A et que rayon AQ. On considère aussi la droite AC. La trisectrice est le lieu du point P, en déplaçant Q sur le cercle, tels que A, Q et P soient colinéaires (alignés sur une même droite), que B soit sur AC et que
Voyons d’abord pourquoi cette courbe porte le nom de trisectrice. Appelons α la mesure de l’angle QAB. Comme le triangle AQB est isocèle, la mesure de l’angle ABQ est aussi α puisque les angles opposés aux côtés isométriques dans les triangles isocèles sont isométriques. Comme la somme des angles intérieurs d’un triangle est toujours 180°, la mesure de l’angle AQB est 180° – 2α. La mesure de l’angle PQB est de 2α puisque ces deux angles sont adjacents supplémentaires. Le triangle QBP étant à son tour isocèle, on trouve que la mesure de l’angle BPQ est donc elle aussi de 2α. On trouve, dans le triangle BPQ,
Ce que l’on peut réécrire de la façon suivante
Les angles PBQ, ABQ et PBC étant adjacents supplémentaires, on peut aussi écrire
En substituant la mesure de l’angle PBQ on obtient
ce qui fait, bien entendu,
Trouvons maintenant les équations paramétriques de la courbe. Plaçons A à l’origine du plan cartésien. Plaçons C sur l’axe des abscisses. Posons enfin
Les coordonnées de Q sont 
celles de B sont
et donc celles de P sont
Mais sachant que
On peut réécrire l’abscisse de P
comme
ce qui fait d’abord
puis ensuite
et enfin
Sachant aussi que
On peut réécrire l’ordonnée de P
comme
En posant
on obtient les équations
dont voici la représentation graphique
Pour les coordonnées polaires, elles peuvent prendre différentes formes. En posant
et en considérant le triangle rectangle d’hypoténuse AP, on trouve l’une de ces formes avec
(nul autre que le cosinus, rapport du côté opposé et de l’hypoténuse dans le triangle rectangle). Cela fait, en isolant r,
et en simplifiant,
Voilà !