Voici une méthode astucieuse pour produire des triplets pythagoriciens, c’est-à-dire des triplets de nombres entiers non-nuls qui satisfont la relation de Pythagore :
On choisit deux nombres entiers strictement positifs. On appelle le plus grand de ces deux nombres x et l’autre, le plus petit, y. On calcule
On obtient ainsi un triplet de nombres entiers qui satisfont la relation de Pythagore. En effet, on observe que
est égal à
En développant on obtient
ce qui est égal, après simplifications, à
Cette expression est effectivement le développement de notre troisième nombre (l’hypoténuse) élevé au carré. En effet, on trouve que
est égal à
qui, en développant, est égal à
On a donc
Voilà !
x^4+2x^2y^2+y^4