Existe-t-il des nombres du type \[a^{b}\]dans lesquel \(a\) et \(b\) sont des nombres irrationnels qui soient rationnels ? On peut montrer que ces nombres existent sans toutefois en trouver un en exemple. Et la démarche est très simple mais pourtant brillante. Considérons le nombre \[{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\]Il s’agit bien d’un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle. Est-il rationnel ou non ?
S’il l’est, alors la recherche est terminée. S’il ne l’est pas, alors le nombre \[\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}\]c’est-à-dire lui aussi un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle, est égal à \begin{align*}\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} &={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} \\ &=\sqrt{2}^{2} \\ \\ &= 2\end{align*}un nombre non seulement rationnel mais en plus entier !
En réalité, il a été prouvé que le nombre \[{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\]est non seulement irrationnel mais en plus transcendant. Il est donc particulièrement curieux de représenter le nombre entier, \(2\), à l’aide d’un nombre transcendant élevé à une puissance irrationnelle.
Référence : C. Stanley Ogilvy et John T. Anderson (1988), Excursions in number theory
C’est une application directe du théorème de Gelfond-Schneider : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gelfond-Schneider
un autre résultat amusant est que e^pi = (-1)^i est transcendant !