Le plus grand quoi ?

[ce billet a été en partie réécrit et mis à jour après sa publication initiale]

Quel est le plus grand nombre entre  \(e^{\pi}\) ou \(\pi^{e}\) ?

Considérons la fonction \(f\) suivante \[f(x) = \frac{x}{\ln(x)}\]Cette fonction possède-t-elle un minimum ? Considérons la dérivée première de \(f(x)\) \[f'(x) = \frac{(1)\ln(x)-x\left(\frac{1}{x}\right)}{\ln^{2}(x)}\]En simplifiant on obtient \[f'(x) = \frac{\ln(x)-1}{\ln^{2}(x)}\]Posons-là égale à zéro \[\frac{\ln(x)-1}{\ln^{2}(x)} = 0\]En multipliant par \(\ln^{2}(x)\) de chaque côté on obtient \[\ln(x)-1= 0\]et en additionnant \(1\) de chaque côté \[\ln(x) = 1\]On trouve la solution\[x = e\]Il y a donc en \(x =e\) un maximum ou un minimum ou un point d’inflexion. Considérons maintenant la dérivée seconde \[f^{\prime \prime}(x)\ = \frac{\frac{1}{x}\cdot \ln^{2}(x)-\left(\ln(x)-1\right)\left(\frac{2\ln(x)}{x}\right)}{\ln^{4}(x)}\]ce qui fait \[f^{\prime \prime}(x) = \frac{\frac{\ln^{2}(x)}{x}-\frac{2\ln^{2}(x)}{x}+\frac{2\ln(x)}{x}}{\ln^{4}(x)}\]puis en simplifiant \[f^{\prime \prime}(x) = \frac{2-\ln(x)}{x\ln^{3}(x)}\]En évaluant la dérivée seconde en \(e\), on obtient\[f^{\prime \prime}(e) = \frac{2-\ln(e)}{e\ln^{3}(e)} = \frac{2-1}{e} = \frac{1}{e}>0\]Comme la dérivée seconde en ce point est positive, on conclut que \(e\) est pour cette fonction un minimum. Ainsi, on trouve d’abord \[\frac{e}{\ln(e)}<\frac{\pi}{\ln(\pi)}\]et puisque \(\ln(e) = 1\) et \(\ln(\pi)>0\) car \(e < \pi \), on trouve \[\frac{e}{\ln(e)} < \frac{\pi}{\ln(\pi)}\] \[e\ln(\pi) < \pi \ln(e)\]et en utilisant une propriété des logarithmes, \[\ln\left(\pi^{e}\right)<\ln\left(e^{\pi}\right)\]ce qui implique \[\pi^{e} < e^{\pi}\]

3 thoughts on “Le plus grand quoi ?

  1. Hummm…

    Non ?

    La fonction f et ses propriétés existent cependant indépendamment de la conjecture. La pauvre n’était qu’une excuse…

  2. Sinon, en dérivant (e^x)/(x^e), on trouve f croissante pour x > e.
    Or pi > e donc f(pi) > f(e), CQFD.

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