Problème : il faut factoriser
Avec de petits nombres entiers, une des premières méthodes que l’on montre aux élèves est la méthode somme-produit. On cherche deux nombres dont la somme est
et le produit est
Comme le produit est négatif, je cherche deux nombres de signes contraires. Après avoir cherché du côté des facteurs de 30, je trouve -15 et 2. En effet,
et
Je peux donc “désimplifier” le terme en x et écrire
afin d’effectuer une mise en évidence double. C’est-à-dire
puis
Or, comme le mentionne avec pertinence James Tanton, si on demande à des enseignants du secondaire
pourquoi ça marche ?
on obtient généralement une réponse qui ressemble à ceci : on commence avec
où a, b, c et d sont des entiers. On effectue le produit
Le coefficient du terme du premier degré est composé de la somme de deux nombres, à savoir ad et bc. On voit aussi que le produit du coefficient du terme du deuxième degré et du terme constant est égal au produit de ces deux nombres
et voilà pourquoi ça marche.
Or cela ne répond pas effectivement à la question. On montre en réalité la réciproque de l’énoncé initial. Comme le souligne Tanton, il serait important (au moins pour l’enseignant, pas pour l’élève) de montrer l’implication directe. C’est-à-dire que si l’on a
et que
et
et où a, b, c, p et q sont des entiers, alors le trinôme se décompose en deux facteurs à coefficients entiers. On a donc
On pose j comme le plus grand commun diviseur de a de p. On a donc
pour un certain entier k. Comme
on a
Évidemment, j divise p, donc p/j est un entier. Or, comme k ne divise pas p/j, mais que
alors on a que k divise q. C’est-à-dire que q/k est aussi un entier et que
On a donc
et en effectuant une mise en évidence double
on obtient
c’est-à-dire deux facteurs à coefficients entiers.
Mais Monsieur, à quoi ça sert ?
Hi!hi!hi!
Je crois aussi que les enseignants de mathématique du secondaire devraient savoir faire ces démonstrations.
(*soupir*)