La méthode somme-produit

Problème : il faut factoriser

Avec de petits nombres entiers, une des premières méthodes que l’on montre aux élèves est la méthode somme-produit.  On cherche deux nombres dont la somme est

et le produit est

Comme le produit est négatif, je cherche deux nombres de signes contraires.  Après avoir cherché du côté des facteurs de 30, je trouve -15 et 2.  En effet,

et

Je peux donc “désimplifier” le terme en x et écrire

afin d’effectuer une mise en évidence double.  C’est-à-dire

puis

Or, comme le mentionne avec pertinence James Tanton, si on demande à des enseignants du secondaire

 

pourquoi ça marche ?

 

on obtient généralement une réponse qui ressemble à ceci :  on commence avec

où a, b, c et d sont des entiers.  On effectue le produit

Le coefficient du terme du premier degré est composé de la somme de deux nombres, à savoir ad et bc.  On voit aussi que le produit du coefficient du terme du deuxième degré et du terme constant est égal au produit de ces deux nombres

et voilà pourquoi ça marche.

 

Or cela ne répond pas effectivement à la question.  On montre en réalité la réciproque de l’énoncé initial.  Comme le souligne Tanton, il serait important (au moins pour l’enseignant, pas pour l’élève) de montrer l’implication directe.  C’est-à-dire que si l’on a

et que

et

et où a, b, c, p et q sont des entiers, alors le trinôme se décompose en deux facteurs à coefficients entiers.  On a donc

On pose j comme le plus grand commun diviseur de a de p.  On a donc

pour un certain entier k.  Commeon a

Évidemment, j divise p, donc p/j est un entier. Or, comme k ne divise pas p/j, mais que

alors on a que k divise q. C’est-à-dire que q/k est aussi un entier et que

On a donc

et en effectuant une mise en évidence double

on obtient

c’est-à-dire deux facteurs à coefficients entiers.