Petit truc ingénieux…

… pour trouver le nombre de diviseurs d’un nombre sans les compter un à un.  C’est une question qui m’a été posée sur les forums cette semaine et qui m’a rappelé ce petit truc que je trouvais bien astucieux.

 Combien de diviseurs possède le nombre 16200 ?

On trouve d’abord la décomposition en facteurs premiers de $16\,200$ \[ 16\,200 =\, 2^{3}\, \cdot \, 3^{4}\,  \cdot \, 5^{2} \]Un nombre qui divise $16\,200$ aura dans ses facteurs premiers que des facteurs $2$ (en au plus trois exemplaires), que des facteurs $3$ (en au plus quatre exemplaires) et que des facteurs 5 (en au plus deux exemplaires).  Par exemple,\[54 = \, 2^1 \, \cdot\,  3^3\]est un diviseur de $16\,200$.  Il ne possède pas de facteur premier $5$, mais ce n’est pas grave.  On pourrait même écrire, puisque $5^0 = 1$,\[54 = \, 2^1 \, \cdot \, 3^3 \, \cdot \, 5^0\]En revanche, les nombres\[4\,860 = \, 2^2 \, \cdot \, 3^5 \, \cdot \, 5^1\]et\[588 = \, 2^2 \, \cdot \, 3^1 \, \cdot \, 7^2\]ne sont pas des diviseurs de $16\,200$.  Le premier possède un facteur $3$ en trop et le deuxième possède un facteur premier, $7$, qui ne se trouve pas dans les facteurs premiers de $16\,200$.  Tous les diviseurs de $16\,200$ sont donc de cette forme\[2^{\alpha}\, \cdot \, 3^{\beta} \, \cdot \, 5^{\gamma}\]

où $\alpha$ peut prendre l’une des valeurs suivantes : $0$, $1$, $2$ ou $3$

où $\beta$ peut prendre l’une des valeurs suivantes : $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$

où $\gamma$ peut prendre l’une des valeurs suivantes : $0$, $1$ ou $2$.

Nous avons donc quatre possibilités pour $\alpha$, cinq possibilités pour $\beta$ et trois possibilités pour $\gamma$.  Il y a donc\[4 \, \cdot\,  5 \, \cdot 3 \, = 60\]possibilités au total.  Notons au passage que dans ces $60$ diviseurs, on compte notamment $1$ lorsque $\alpha = 0$, $\beta = 0$ et $\gamma = 0$ \[2^0 \, \cdot \, 3^0 \, \cdot \, 7^0 \, = 1\]et $16\,200$ lui-même lorsque $\alpha =3$, $\beta = 4$ et $\gamma = $\[2^3\,  \cdot\,  3^4 \, \cdot\,  7^2 \, = 16\,200\]Nous avons trouvé le nombre de diviseurs de $16\,200$ sans les compter un à un !  Bien sûr, on aurait pu simplement frapper à la bonne porte !  Mais c’est beaucoup moins amusant…

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