Liberté illusoire…

Le problème est le suivant :

en utilisant une fois seulement tous les chiffres de 0 à 9, formez des nombres de un ou deux chiffres dont la somme est 100.

Les différentes possibilités de former de telles sommes apparaissent si grandes que, le problème posé de cette manière, un mathématicien amateur ou un élève pourrait, de prime abord, ne pas se contenter de chercher une solution mais bien de tenter de découvrir une stratégie qui permettrait de trouver systématiquement toutes les solutions.

Or, calculatrice à la main, la recherche apparaît rapidement vaine.  On peut trouver des sommes qui sont très proches, commeou

mais il semble désormais impossible, après plusieurs tentatives, de trouver une somme qui fait l’affaire. Hummmm…

Si la somme existe, elle doit inévitablement prendre cette forme :où les expressions de la forme 10du représentent les nombres à deux chiffres et les expressions de la forme v représentent les nombres à un chiffre. En vertu de l’énoncé du problème, les d, u et v sont tous distincts et compris entre 0 et 9.  On peut par ailleurs réécrire la somme précédente commeMaintenant, en remarquant que

on peut poseret incidemmentEn d’autres mots, si la somme des chiffres à la position des unités est x, alors la somme des chiffres à la position des dizaines sera 45 – x. En substituant, on obtient

ce qui fait en résolvantet puisSi la solution existe, alors une somme de nombres entiers doit être égale à une fraction ! Ainsi, aussi surprenant que cela puisse paraître, il est impossible de trouver une telle somme, malgré toute la liberté concédée dans l’énoncé du problème.

 

Référence : George Pólya (2004), How to Solve It : A New Aspect Of Mathematical Method

3 thoughts on “Liberté illusoire…

  1. Bonjour TheDude,

    très bel article, j’ai une autre solution à proposer pour montrer que c’est impossible:

    Soit S une somme de nombres d’un ou deux chiffres n’utilisant qu’une seule fois chacun des chiffres de 0 à 9. Alors S est congru à 45 modulo 3 (car tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 3). Si S=100 alors 45 est congru à 100 modulo 3, ce qui signifierait que 0 est congru à 1 modulo 3, ce qui est impossible !

  2. Très bientôt… il est écrit à 60%, donc je pense que d’ici au plus tard une semaine, il sera publié :)

    Scoop: ça parlera encore de crible !

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